روش گاوس-ارمیت (Gauss-Hermite Quadrature)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش گاوس-ارمیت (Gauss-Hermite Quadrature) :
\[ \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} f(x) dx \approx \sum_{i=1}^n w_i f(x_i) \]توضیح ساده: روش گاوس-ارمیت برای انتگرال گیری از توابع در بازه نامتناهی (∞- تا ∞) با وزن e^{-x²} طراحی شده است. این نوع انتگرال ها در فیزیک (مکانیک کوانتومی، نوسانگر هارمونیک) و آمار (توزیع نرمال) بسیار مهم هستند. نقاط x_i ریشه های چندجمله ای ارمیت H_n(x) هستند و وزن ها از فرمول خاصی محاسبه می شوند. این روش برای توابعی که رفتار گاوسی دارند، بسیار دقیق است.
شرح گام به گام: فرمول گاوس-ارمیت برای انتگرال با وزن e^{-x²} در بازه (∞- ,∞) به صورت زیر است:
\[ \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} f(x) dx \approx \sum_{i=1}^n w_i f(x_i) \]که x_i ریشه های چندجمله ای ارمیت H_n(x) هستند. وزن ها از رابطه زیر بدست می آیند:
\[ w_i = \frac{2^{n-1} n! \sqrt{\pi}}{n^2 [H_{n-1}(x_i)]^2} \]چندجمله ای های ارمیت با رابطه بازگشتی H_0=1, H_1=2x, H_{n+1}=2xH_n - 2nH_{n-1} تعریف می شوند. برای حالت کلی تر با وزن e^{-ax²} می توان با تغییر متغیر استفاده کرد.
مثال عددی: انتگرال I = ∫_{-∞}^∞ e^{-x²} x² dx = √π/2 ≈ 0.8862269. با n=2، نقاط و وزن های گاوس-ارمیت: x₁ = -0.7071068، x₂ = 0.7071068 w₁ = w₂ = 0.8862269 I ≈ 0.8862269*(0.5 + 0.5) = 0.8862269 دقیق. برای n=1: نقطه x₁=0، وزن w₁=√π≈1.77245، I≈1.77245*0=0 که اشتباه است چون f(x)=x² در x=0 صفر است و فرمول با n=1 فقط برای چندجمله ای های درجه ≤۱ دقیق است.
مزایا: ایده آل برای انتگرال های گاوسی، دقت بالا در مسائل کوانتومی و آماری.
معایب: فقط برای وزن e^{-x²} کاربرد دارد. برای توابع با نوسانات زیاد در بی نهایت ممکن است مناسب نباشد.
کاربردها: در مکانیک کوانتومی (محاسبه انتظار کوانتومی)، در آمار (گشتاورهای توزیع نرمال)، در فیزیک آماری.
نکته: چندجمله ای های ارمیت به نام شارل ارمیت، ریاضیدان فرانسوی، نامگذاری شده اند.
