روش گاوس-لاگر (Gauss-Laguerre Quadrature)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش گاوس-لاگر (Gauss-Laguerre Quadrature) :
\[ \int_0^\infty e^{-x} f(x)dx \approx \sum_{i=1}^n w_i f(x_i) \]توضیح ساده: روش گاوس-لاگر برای انتگرال گیری از توابع در بازه نیم نامتناهی [۰,∞) با وزن e^{-x} طراحی شده است. این نوع انتگرال ها در فیزیک (مکانیک کوانتومی، توزیع های آماری) و مهندسی مکررا ظاهر می شوند. نقاط x_i ریشه های چندجمله ای لاگر L_n(x) هستند و وزن ها از فرمول خاصی محاسبه می شوند.
شرح گام به گام: فرمول گاوس-لاگر برای انتگرال با وزن e^{-x} در بازه [۰,∞) به صورت زیر است:
\[ \int_0^\infty e^{-x} f(x)dx \approx \sum_{i=1}^n w_i f(x_i) \]که x_i ریشه های چندجمله ای لاگر L_n(x) هستند و وزن ها از رابطه زیر بدست می آیند:
\[ w_i = \frac{x_i}{(n+1)^2 [L_{n+1}(x_i)]^2} \]برای توابع f که رفتار چندجمله ای دارند، این روش بسیار دقیق است. برای بازه [α,∞) با تغییر متغیر مناسب می توان استفاده کرد.
مثال عددی: انتگرال I = ∫₀^∞ e^{-x} x dx = 1 (انتگرال گاما). با n=2، نقاط و وزن های گاوس-لاگر: x₁ = 0.5858، x₂ = 3.4142 w₁ = 0.8536، w₂ = 0.1464 I ≈ 0.8536*0.5858 + 0.1464*3.4142 = 0.5 + 0.5 = 1 دقیق. برای n=1: نقطه x₁=1، وزن w₁=1، I≈1*1=1 نیز دقیق است چون x یک چندجمله ای درجه ۱ است و فرمول با n=1 برای درجه ≤۱ دقیق است.
مزایا: ایده آل برای انتگرال های با بازه نیم نامتناهی و وزن نمایی، دقت بالا.
معایب: فقط برای وزن e^{-x} کاربرد دارد. برای توابع با نوسانات زیاد در بی نهایت ممکن است مناسب نباشد.
کاربردها: در مکانیک کوانتومی (انتگرال های تابع موج)، در نظریه احتمال (گشتاورهای توزیع ها)، در فیزیک آماری.
نکته: مشابه این روش برای وزن x^α e^{-x} با چندجمله های لاگر تعمیم یافته (Associated Laguerre) وجود دارد.
