روش گاوس-چبیشف (Gauss-Chebyshev Quadrature)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش گاوس-چبیشف (Gauss-Chebyshev Quadrature) :
\[ \int_{-1}^1 \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx \approx \sum_{i=1}^n w_i f(x_i) \]توضیح ساده: روش گاوس-چبیشف یک نوع خاص از انتگرال گیری گاوسی برای انتگرال هایی با وزن w(x) = 1/√(1-x²) در بازه [-1,1] است. این نوع انتگرال ها در مسائل مختلف فیزیک و مهندسی ظاهر می شوند. نقاط در این روش، ریشه های چندجمله ای چبیشف T_n(x) هستند و وزن ها ثابت و مساوی π/n می باشند که محاسبه را بسیار ساده می کند.
شرح گام به گام: فرمول انتگرال گیری گاوس-چبیشف برای انتگرال با وزن 1/√(1-x²) به صورت زیر است:
\[ \int_{-1}^1 \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx \approx \sum_{i=1}^n w_i f(x_i) \]که در آن:
\[ x_i = \cos\left(\frac{(2i-1)\pi}{2n}\right), \quad w_i = \frac{\pi}{n} \]این نقاط در واقع ریشه های چندجمله ای چبیشف T_n(x) هستند. این فرمول برای چندجمله ای های f تا درجه ۲n-۱ دقیق است. نکته جالب: وزن ها همه مساوی هستند، که این یک ویژگی منحصر بفرد است.
مثال عددی: انتگرال I = ∫₋₁¹ (1/√(1-x²)) dx = π (چون f(x)=1). با n=4: نقاط: x_i = cos((2i-1)π/8): i=1: cos(π/8)=0.92388, i=2: cos(3π/8)=0.38268, i=3: cos(5π/8)=-0.38268, i=4: cos(7π/8)=-0.92388 وزن ها: w_i = π/4 ≈ 0.7854 I ≈ 0.7854 * (1+1+1+1) = 0.7854 * 4 = 3.1416 = π دقیق. برای f(x)=x²، انتگرال ∫ x²/√(1-x²) dx = π/2 ≈ 1.5708. با n=2: نقاط x=±√2/2≈±0.7071، I≈ (π/2)*(0.5+0.5)= (π/2)*1 = 1.5708 دقیق.
مزایا: نقاط ساده (کسینوس)، وزن های مساوی، بسیار دقیق برای انتگرال های با وزن خاص.
معایب: فقط برای وزن 1/√(1-x²) کاربرد دارد. برای سایر وزن ها باید از روش های دیگر گاوسی استفاده کرد.
کاربردها: در حل معادلات انتگرال، در مسائل پتانسیل، در نظریه تقریب (چندجمله ای های چبیشف).
نکته: این روش با استفاده از خاصیت متعامد بودن چندجمله ای های چبیشف بدست می آید.
