روش گاوس-لژاندر (Gauss-Legendre Quadrature)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش گاوس-لژاندر (Gauss-Legendre Quadrature) :
\[ \int_{-1}^1 f(x)dx \approx \sum_{i=1}^n w_i f(x_i) \]توضیح ساده: روش گاوس-لژاندر یکی از دقیق ترین روش های انتگرال گیری عددی است. ایده اصلی این است که به جای استفاده از نقاط با فاصله مساوی، نقاط و وزن ها را به گونه ای انتخاب کنیم که فرمول برای چندجمله ای های تا درجه ۲n-۱ دقیق باشد. نقاط x_i ریشه های چندجمله ای لژاندر P_n(x) هستند. این روش برای توابع هموار در بازه [-1,1] نتایج فوق العاده ای می دهد.
شرح گام به گام: فرمول انتگرال گیری گاوسی با n نقطه به صورت زیر است:
\[ \int_{-1}^1 f(x)dx \approx \sum_{i=1}^n w_i f(x_i) \]که x_i ریشه های چندجمله ای لژاندر P_n(x) هستند و وزن ها از فرمول زیر بدست می آیند:
\[ w_i = \frac{2}{(1-x_i^2) [P'_n(x_i)]^2} \]برای بازه دلخواه [a,b]، با تغییر متغیر x = ((b-a)t + (a+b))/2، داریم:
\[ \int_a^b f(x)dx = \frac{b-a}{2} \int_{-1}^1 f\left(\frac{b-a}{2}t + \frac{a+b}{2}\right) dt \]جداول نقاط و وزن ها برای nهای مختلف موجود است.
مثال عددی: برای n=2، نقاط و وزن های گاوس-لژاندر: x₁ = -1/√3 ≈ -0.57735، x₂ = 0.57735 w₁ = w₂ = 1 انتگرال ∫₋₁¹ x⁴ dx = 2/5 = 0.4 با فرمول گاوس: I ≈ 1*f(-0.57735) + 1*f(0.57735) = (-0.57735)⁴ + (0.57735)⁴ = 0.1111 + 0.1111 = 0.2222? این اشتباه است! x⁴ در این نقاط: (0.57735)⁴ = (0.3333)² = 0.1111، جمع 0.2222، در حالی که جواب 0.4 است. چون x⁴ از درجه ۴ است و فرمول با n=2 برای درجه ≤۳ دقیق است. برای درجه ۴ نیاز به n=3 داریم. با n=3، نقاط: 0, ±√(3/5)≈0.7746، وزن ها: 8/9≈0.8889 برای نقطه میانی، 5/9≈0.5556 برای نقاط کناری. محاسبه: 0.8889*0 + 0.5556*(0.7746⁴ + (-0.7746)⁴) = 0.5556*(0.36 + 0.36) = 0.5556*0.72 = 0.4 دقیق.
مزایا: بسیار دقیق، با n نقطه برای چندجمله ای های تا درجه ۲n-۱ دقیق است، برای توابع هموار همگرایی سریع دارد.
معایب: نقاط و وزن ها ثابت هستند و برای هر n باید از قبل محاسبه شوند. برای توابع ناهموار مناسب نیست.
کاربردها: استانداردترین روش در نرم افزارهای عددی، در روش عناصر محدود، در فیزیک محاسباتی.
نکته: این روش توسط کارل فردریش گاوس ابداع شد.
