روش رومبرگ (Romberg Integration)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :

روش رومبرگ (Romberg Integration) :

توضیح ساده: روش رومبرگ یک روش قدرتمند برای افزایش دقت انتگرال گیری عددی است. این روش از ترکیب نتایج روش ذوزنقه ای با گام های مختلف استفاده می کند و با استفاده از برون یابی ریچاردسون، مرتبه دقت را به طور چشمگیری افزایش می دهد. روش رومبرگ می تواند به دقت های بسیار بالا (مرتبه های بالا) برسد و برای توابع هموار یکی از بهترین روش ها است.

شرح گام به گام: روش رومبرگ بر اساس این واقعیت است که خطای روش ذوزنقه ای مرکب را می توان به صورت سری توانی از h² نوشت. با ترکیب نتایج با گام های مختلف، می توان جملات خطا را حذف کرد.

۱. ابتدا دنباله ای از تقریب های ذوزنقه ای با گام های h, h/2, h/4, ... محاسبه می کنیم: R_{k,0} = T(h/2^{k-1})

۲. سپس با استفاده از برون یابی ریچاردسون، تقریب های مرتبه بالاتر را محاسبه می کنیم:

۳. با افزایش j، مرتبه خطا افزایش می یابد (از O(h²) به O(h⁴)، O(h⁶)، ...). جدول رومبرگ تا زمانی که تغییرات ناچیز شود ادامه می یابد.

مثال عددی: انتگرال ∫₀¹ x⁴ dx = 0.2. با روش رومبرگ: گام های ذوزنقه ای: با n=1 (h=1): R₁₁ = 0.5*(0+1)=0.5 n=2 (h=0.5): نقاط 0,0.5,1: f=0,0.0625,1 ⇒ R₂₁ = 0.5*(0.5*0+0.0625+0.5*1)=0.5*(0+0.0625+0.5)=0.5*0.5625=0.28125 n=4 (h=0.25): R₃₁ = 0.25*(0.5*0 + 0.0039+0.0625+0.3164+0.5*1) = 0.25*(0+0.0039+0.0625+0.3164+0.5)=0.25*0.8828=0.2207 حال برون یابی: R₂₂ = (4*R₂₁ - R₁₁)/(4-1) = (4*0.28125 - 0.5)/3 = (1.125 - 0.5)/3 = 0.625/3 = 0.20833 R₃₂ = (4*R₃₁ - R₂₁)/3 = (4*0.2207 - 0.28125)/3 = (0.8828 - 0.28125)/3 = 0.60155/3 = 0.20052 R₃₃ = (16*R₃₂ - R₂₂)/(16-1) = (16*0.20052 - 0.20833)/15 = (3.20832 - 0.20833)/15 = 3/15 = 0.2 (دقیق)

مزایا: دقت بسیار بالا، همگرایی سریع، تخمین خطای داخلی دارد.

معایب: برای توابع ناهموار یا دارای تکینگی مناسب نیست. نیاز به محاسبات تکراری دارد.

کاربردها: در مسائل علمی که نیاز به دقت بالا دارند، در تأیید نتایج روش های دیگر، در کتابخانه های عددی.

نکته: روش رومبرگ به افتخار ورنر رومبرگ، ریاضیدان آلمانی، نامگذاری شده است.