روش نیوتن-کوتس باز (Open Newton-Cotes Formulas)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش نیوتن-کوتس باز (Open Newton-Cotes Formulas) :
فرمول هایی که از نقاط داخلی استفاده می کنند و نقاط انتهایی را شامل نمی شوند.
توضیح ساده: فرمول های نیوتن-کوتس باز مشابه فرمول های بسته هستند، با این تفاوت که نقاط انتهایی بازه در درون یابی شرکت نمی کنند. این فرمول ها برای مواردی مفید هستند که تابع در نقاط انتهایی تعریف نشده یا رفتار ناهمواری دارد (مثلا انتگرال های ناسره). ساده ترین آنها روش نقطه میانی (با یک نقطه داخلی) است.
شرح گام به گام: برای n+1 نقطه با فاصله مساوی، نقاط داخلی را به صورت x_i = a + (i+1)h انتخاب می کنیم، که در آن h = (b-a)/(n+2) و i=0,...,n. سپس چندجمله ای درون یاب را از این نقاط عبور داده و انتگرال می گیریم. فرمول عمومی:
\[ \int_a^b f(x)dx \approx \sum_{i=0}^n w_i f(x_i) \]برای n=0 (یک نقطه داخلی): روش نقطه میانی با w₀ = (b-a) برای n=1 (دو نقطه داخلی): فرمول باز با نقاط a+h و a+2h (که h=(b-a)/3): I ≈ (3h/2) (f(a+h) + f(a+2h)) = (b-a)/2 (f(a+h) + f(a+2h)) برای n=2 (سه نقطه داخلی): فرمول باز با نقاط a+h, a+2h, a+3h (h=(b-a)/4): I ≈ (4h/3) (2f(a+h) - f(a+2h) + 2f(a+3h))
مثال عددی: فرمول باز با دو نقطه (n=1) برای انتگرال ∫₀¹ x² dx: h = (1-0)/(1+2)=1/3 ≈ 0.3333 نقاط: a+h=0.3333, f=0.1111; a+2h=0.6667, f=0.4444 I ≈ (1/2)*(0.1111+0.4444) = 0.5*0.5555 = 0.27775 خطا: 0.27775 - 0.33333 = -0.05558
مزایا: مناسب برای انتگرال های ناسره، وقتی تابع در مرزها تعریف نشده است.
معایب: دقت کمتر از فرمول های بسته برای تعداد نقاط مشابه، ضرایب منفی برای درجات بالا.
کاربردها: در انتگرال گیری از توابع با تکینگی در مرزها، در روش های گام برداری تطبیقی.
نکته: روش نقطه میانی مهم ترین عضو این خانواده است.
