روش نیوتن-کوتس بسته (Closed Newton-Cotes Formulas)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش نیوتن-کوتس بسته (Closed Newton-Cotes Formulas) :
فرمول هایی که از نقاط انتهایی بازه استفاده می کنند: ذوزنقه ای، سیمپسون ۱/۳، سیمپسون ۳/۸، و ...
توضیح ساده: فرمول های نیوتن-کوتس خانواده ای از روش های انتگرال گیری عددی هستند که در آنها، تابع f را با یک چندجمله ای درون یاب در نقاط با فاصله مساوی تقریب می زنند و سپس آن چندجمله ای را انتگرال می گیرند. فرمول های "بسته" آنهایی هستند که نقاط انتهایی بازه (a و b) در نقاط درون یابی شرکت دارند. معروف ترین آنها روش ذوزنقه ای (با ۲ نقطه)، روش سیمپسون ۱/۳ (با ۳ نقطه)، و روش سیمپسون ۳/۸ (با ۴ نقطه) هستند.
شرح گام به گام: برای n+1 نقطه با فاصله مساوی x₀=a, x₁,..., xₙ=b، چندجمله ای درون یاب لاگرانژ درجه n را می سازیم و انتگرال می گیریم. فرمول عمومی:
\[ \int_a^b f(x)dx \approx \sum_{i=0}^n w_i f(x_i) \]که w_i ضرایب وزنی هستند. برای n=1 (دو نقطه): روش ذوزنقه ای با w₀=w₁=(b-a)/2 برای n=2 (سه نقطه): روش سیمپسون ۱/۳ با w₀=w₂=(b-a)/6, w₁=4(b-a)/6 برای n=3 (چهار نقطه): روش سیمپسون ۳/۸ با w₀=w₃=3(b-a)/8, w₁=w₂=9(b-a)/8 برای nهای بزرگتر، فرمول های نیوتن-کوتس با درجه بالا ممکن است ناپایدار شوند (ضرایب منفی).
مثال عددی: جدول فرمول های نیوتن-کوتس بسته: n=1: (b-a)/2 [f₀+f₁] n=2: (b-a)/6 [f₀+4f₁+f₂] n=3: (b-a)/8 [f₀+3f₁+3f₂+f₃] n=4: (b-a)/90 [7f₀+32f₁+12f₂+32f₃+7f₄] (فرمول بوول - Boole's Rule) دقت این فرمول ها برای چندجمله ای ها تا درجه n است.
مزایا: فرمول های ساده و منظم، برای درجات پایین بسیار پرکاربرد و دقیق.
معایب: برای n≥۸، ضرایب منفی ظاهر می شوند و روش ناپایدار می شود. برای توابع با نوسانات زیاد مناسب نیستند.
کاربردها: در تحلیل عددی پایه، در انتگرال گیری از داده های آزمایشگاهی با فواصل مساوی.
نکته: این فرمول ها به افتخار آیزاک نیوتن و راجر کوتس نامگذاری شده اند.
