روش راست گذاری مرکب (Composite Rectangle Method)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش راست گذاری مرکب (Composite Rectangle Method) :
\[ \int_a^b f(x)dx \approx h \sum_{i=1}^n f(a + (i-1)h) \quad \text{(چپ گذاری مرکب)} \] \[ \int_a^b f(x)dx \approx h \sum_{i=1}^n f(a + ih) \quad \text{(راست گذاری مرکب)} \]توضیح ساده: روش راست گذاری مرکب برای بهبود دقت، بازه را به زیربازه های کوچک تقسیم می کند و در هر زیربازه از روش چپ گذاری یا راست گذاری استفاده می کند. با افزایش تعداد زیربازه ها، دقت افزایش می یابد. این روش ها پایه ای ترین شکل انتگرال گیری عددی هستند و درک مفهوم جمع های ریمان را ساده می کنند.
شرح گام به گام: بازه [a,b] را به n زیربازه مساوی با طول h = (b-a)/n تقسیم می کنیم. نقاط تقسیم: x_i = a + i h برای i=0,...,n.
چپ گذاری مرکب: از نقطه چپ هر زیربازه استفاده می کنیم:
\[ I_L \approx h \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) = h (f(x_0) + f(x_1) + ... + f(x_{n-1})) \]راست گذاری مرکب: از نقطه راست هر زیربازه استفاده می کنیم:
\[ I_R \approx h \sum_{i=1}^{n} f(x_i) = h (f(x_1) + f(x_2) + ... + f(x_n)) \]خطای هر دو روش از مرتبه O(h) است. میانگین این دو، روش ذوزنقه ای مرکب را می دهد.
مثال عددی: انتگرال ∫₀¹ x² dx را با n=4 و روش چپ گذاری مرکب محاسبه کنید. h=0.25، نقاط: x₀=0, x₁=0.25, x₂=0.5, x₃=0.75 f(0)=0, f(0.25)=0.0625, f(0.5)=0.25, f(0.75)=0.5625 I_L = 0.25 * (0 + 0.0625 + 0.25 + 0.5625) = 0.25 * 0.875 = 0.21875 خطا: 0.21875 - 0.33333 = -0.11458 راست گذاری مرکب: x₁=0.25, x₂=0.5, x₃=0.75, x₄=1 f(0.25)=0.0625, f(0.5)=0.25, f(0.75)=0.5625, f(1)=1 I_R = 0.25 * (0.0625 + 0.25 + 0.5625 + 1) = 0.25 * 1.875 = 0.46875 خطا: 0.46875 - 0.33333 = 0.13542 میانگین I_L و I_R = (0.21875+0.46875)/2 = 0.34375 که همان روش ذوزنقه ای مرکب است.
مزایا: ساده ترین روش برای درک مفهوم انتگرال گیری عددی، پایه ای برای روش های پیشرفته تر.
معایب: دقت پایین (مرتبه ۱)، برای رسیدن به دقت قابل قبول نیاز به n بسیار بزرگ است.
کاربردها: در آموزش، در شبیه سازی هایی که سرعت بسیار مهم است و دقت بالا نیاز نیست، در پیاده سازی های سخت افزاری.
نکته: این روش ها معادل جمع های پایین و بالای ریمان در حسابان هستند.
