روش نقطه میانی مرکب (Composite Midpoint Rule)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش نقطه میانی مرکب (Composite Midpoint Rule) :
\[ \int_a^b f(x)dx \approx h \sum_{i=1}^n f\left(a + (i-0.5)h\right) \]توضیح ساده: روش نقطه میانی مرکب برای افزایش دقت، بازه انتگرال گیری را به n زیربازه مساوی تقسیم می کند و در هر زیربازه از روش نقطه میانی استفاده می کند. سپس نتایج را جمع می زند. این روش ساده و مؤثر است و برای توابعی که رفتار همواری دارند، دقت خوبی ارائه می دهد. برخلاف روش ذوزنقه ای مرکب، در این روش از نقاط میانی زیربازه ها استفاده می شود، نه نقاط انتهایی.
شرح گام به گام: بازه [a,b] را به n زیربازه مساوی با طول h = (b-a)/n تقسیم می کنیم. نقاط میانی هر زیربازه عبارتند از:
\[ x_i^* = a + (i - 0.5)h, \quad i=1,2,...,n \]در هر زیربازه، از روش نقطه میانی استفاده می کنیم و نتایج را جمع می کنیم:
\[ I \approx h \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \]خطای این روش از مرتبه O(h²) است و فرمول دقیق آن:
\[ E = \frac{(b-a)h^2}{24} f''(\xi) \]این روش برای توابعی که مشتق دوم دارند، همگرایی مرتبه دوم دارد.
مثال عددی: انتگرال ∫₀¹ x² dx را با n=4 زیربازه (h=0.25) محاسبه کنید. نقاط میانی: x₁*=0.125, f=0.015625; x₂*=0.375, f=0.140625; x₃*=0.625, f=0.390625; x₄*=0.875, f=0.765625 I ≈ 0.25 * (0.015625 + 0.140625 + 0.390625 + 0.765625) = 0.25 * 1.3125 = 0.328125 خطا: 0.328125 - 0.33333 = -0.005208 (کمتر از روش ذوزنقه ای مرکب با همان n که 0.34375 و خطا 0.01042 بود). جالب است که روش نقطه میانی مرکب در این مثال دقیق تر است.
مزایا: ساده، دقت خوب (مرتبه ۲)، برای توابع هموار معمولا از ذوزنقه ای دقیق تر است.
معایب: برای توابع با تغییرات سریع در نزدیکی مرزها، ممکن است دقت کمتری داشته باشد.
کاربردها: در مسائل علمی و مهندسی، به عنوان روش پایه، در روش های تطبیقی.
نکته: روش نقطه میانی مرکب با روش مستطیلی میانی نیز شناخته می شود.
