روش نقطه میانی (Midpoint Rule)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش نقطه میانی (Midpoint Rule) :
توضیح ساده: روش نقطه میانی ساده ترین روش انتگرال گیری عددی از نوع باز (Open) است. در این روش، ناحیه زیر منحنی را با یک مستطیل تقریب می زنیم که ارتفاع آن برابر مقدار تابع در نقطه میانی بازه است. این روش ساده است و برای توابعی که رفتاری متقارن دارند، می تواند دقیق باشد. برخلاف روش ذوزنقه ای که از نقاط انتهایی استفاده می کند، روش نقطه میانی از نقطه داخلی بازه استفاده می کند.
شرح گام به گام: برای یک بازه [a,b]، نقطه میانی m = (a+b)/2 را محاسبه می کنیم. سپس انتگرال تقریبی برابر است با:
\[ I \approx (b-a) f(m) \]این فرمول از مساحت مستطیلی با عرض (b-a) و ارتفاع f(m) بدست می آید. خطای این روش به صورت زیر است:
\[ E = \frac{(b-a)^3}{24} f''(\xi) \]که ξ نقطه ای در بازه (a,b) است. جالب است که خطای روش نقطه میانی نصف خطای روش ذوزنقه ای و با علامت مخالف است. برای توابع خطی، این روش دقیق نیست (برخلاف ذوزنقه ای).
مثال عددی: انتگرال ∫₀¹ x² dx = 1/3 ≈ 0.3333 را با روش نقطه میانی محاسبه کنید. m = 0.5، f(0.5)=0.25 I ≈ (1-0)*0.25 = 0.25 خطا: 0.25 - 0.3333 = -0.0833 (خطا منفی است). روش ذوزنقه ای 0.5 داده بود (خطا 0.1667+). میانگین این دو 0.375 می شود که به جواب نزدیک تر است.
مزایا: بسیار ساده، برای توابعی که در مرکز بازه نماینده خوبی هستند، مناسب است. در روش های مرکب کارایی خوبی دارد.
معایب: دقت پایین، برای توابع با تغییرات زیاد در بازه خطای زیادی دارد. برخلاف ذوزنقه ای، برای توابع خطی دقیق نیست.
کاربردها: در روش های گام برداری تطبیقی، در انتگرال گیری از توابع ناهموار، به عنوان بخشی از روش های مرکب.
نکته: روش نقطه میانی در واقع انتگرال گیری از درون یاب درجه صفر (ثابت) در نقطه میانی است.
