روش سیمپسون ۳/۸ (Simpson's 3/8 Rule)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش سیمپسون ۳/۸ (Simpson's 3/8 Rule) :
\[ \int_a^b f(x)dx \approx \frac{3h}{8}[f(a)+3f(a+h)+3f(a+2h)+f(b)] \]توضیح ساده: روش سیمپسون ۳/۸ مشابه روش ۱/۳ است، اما به جای سه نقطه، از چهار نقطه (یک چندجمله ای درجه ۳) استفاده می کند. این روش برای سه زیربازه (چهار نقطه) طراحی شده است و دقت آن مانند روش ۱/۳ از مرتبه ۴ است، اما برای برخی توابع ممکن کمی دقیق تر باشد. نام آن از کسر ۳/۸ در فرمول گرفته شده است.
شرح گام به گام: برای یک بازه [a,b]، آن را به سه زیربازه مساوی با طول h = (b-a)/3 تقسیم می کنیم. نقاط a, a+h, a+2h, b. با درون یابی درجه ۳ از این چهار نقطه و انتگرال گیری، فرمول زیر بدست می آید:
\[ I \approx \frac{3h}{8} (f(a) + 3f(a+h) + 3f(a+2h) + f(b)) \]خطای این روش نیز از مرتبه O(h⁵) است و فرمول آن:
\[ E = -\frac{3h^5}{80} f^{(4)}(\xi) \]برای حالت مرکب، تعداد زیربازه ها باید مضرب ۳ باشد.
مثال عددی: انتگرال ∫₀¹ e^x dx = e - 1 ≈ 1.71828 را با روش سیمپسون ۳/۸ محاسبه کنید. h = 1/3 ≈ 0.33333 نقاط: x₀=0, f=1; x₁=0.33333, f=1.39561; x₂=0.66667, f=1.94773; x₃=1, f=2.71828 I ≈ (3*0.33333/8) * (1 + 3*1.39561 + 3*1.94773 + 2.71828) = (1/8) * (1 + 4.18683 + 5.84319 + 2.71828) = 0.125 * (13.7483) = 1.71854 خطا: 1.71854 - 1.71828 = 0.00026 که بسیار کم است.
مزایا: دقت بالا، مناسب برای زمانی که تعداد زیربازه ها مضرب ۳ است.
معایب: کمتر از روش ۱/۳ رایج است. برای استفاده مرکب، تعداد زیربازه ها باید مضرب ۳ باشد.
کاربردها: در ترکیب با روش ۱/۳ برای انعطاف پذیری بیشتر (مثلا وقتی تعداد زیربازه ها فرد است، می توان از ترکیب ۱/۳ و ۳/۸ استفاده کرد).
نکته: روش ۳/۸ دقت مشابه ۱/۳ دارد، اما ضرایب متفاوتی دارد.
