روش سیمپسون ۱/۳ مرکب (Composite Simpson's 1/3 Rule)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش سیمپسون ۱/۳ مرکب (Composite Simpson's 1/3 Rule) :
\[ \int_a^b f(x)dx \approx \frac{h}{3}\left[f(x_0)+4\sum_{i=1}^{n/2} f(x_{2i-1})+2\sum_{i=1}^{n/2-1} f(x_{2i})+f(x_n)\right] \]توضیح ساده: روش سیمپسون ۱/۳ مرکب تعمیم روش سیمپسون ساده به چندین زیربازه است. برای استفاده از این روش، باید تعداد زیربازه ها زوج باشد (تعداد نقاط فرد). هر جفت زیربازه مجاور (سه نقطه) یک سهمی را تشکیل می دهند. با جمع انتگرال های همه سهمی ها، فرمول مرکب بدست می آید. این روش یکی از محبوب ترین روش ها برای انتگرال گیری عددی است.
شرح گام به گام: بازه [a,b] را به n زیربازه مساوی (n زوج) با طول h = (b-a)/n تقسیم می کنیم. نقاط x_i = a + i h. در هر جفت زیربازه [x_{2i-2}, x_{2i}] (که شامل سه نقطه x_{2i-2}, x_{2i-1}, x_{2i} است) از روش سیمپسون ساده استفاده می کنیم:
\[ I_i \approx \frac{h}{3} (f(x_{2i-2}) + 4f(x_{2i-1}) + f(x_{2i})) \]با جمع i=1 تا n/2 و ساده سازی، فرمول کلی بدست می آید:
\[ I \approx \frac{h}{3} \left( f(x_0) + 4\sum_{i=1}^{n/2} f(x_{2i-1}) + 2\sum_{i=1}^{n/2-1} f(x_{2i}) + f(x_n) \right) \]خطای این روش از مرتبه O(h⁴) است.
مثال عددی: انتگرال ∫₀¹ x⁴ dx = 0.2 را با n=4 (h=0.25) محاسبه کنید. نقاط: x₀=0, f=0; x₁=0.25, f=0.003906; x₂=0.5, f=0.0625; x₃=0.75, f=0.316406; x₄=1, f=1 I ≈ (0.25/3) * (0 + 4*(0.003906+0.316406) + 2*(0.0625) + 1) = (0.08333) * (4*0.320312 + 0.125 + 1) = 0.08333 * (1.28125 + 0.125 + 1) = 0.08333 * 2.40625 = 0.2005 خطا: 0.2005 - 0.2 = 0.0005 که بسیار کم است.
مزایا: دقت بالا (مرتبه ۴)، همگرایی سریع، استاندارد صنعتی.
معایب: نیاز به تعداد زوج زیربازه دارد. برای توابع با تغییرات سریع، ممکن است به زیربازه های زیادی نیاز باشد.
کاربردها: در محاسبات مهندسی، در شبیه سازی های علمی، در نرم افزارهای عددی.
نکته: روش سیمپسون معمولا برای انتگرال گیری از داده های آزمایشگاهی نیز استفاده می شود.
