روش سیمپسون ۱/۳ (Simpson's 1/3 Rule)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش سیمپسون ۱/۳ (Simpson's 1/3 Rule) :
\[ \int_a^b f(x)dx \approx \frac{b-a}{6}[f(a)+4f(\frac{a+b}{2})+f(b)] \]توضیح ساده: روش سیمپسون ۱/۳ یک روش دقیق تر از روش ذوزنقه ای است. در این روش، به جای خط راست، یک سهمی (چندجمله ای درجه ۲) را از سه نقطه (a,f(a))، (میانه, f(میانه))، و (b,f(b)) عبور می دهیم و انتگرال زیر این سهمی را محاسبه می کنیم. این روش برای توابعی که به چندجمله ای درجه ۲ نزدیک هستند، بسیار دقیق است.
شرح گام به گام: فرض کنید a و b و نقطه وسط m = (a+b)/2 را داریم. درون یاب درجه ۲ لاگرانژ که از این سه نقطه عبور می کند، انتگرالش فرمول سیمپسون را می دهد:
\[ I \approx \frac{b-a}{6} \left( f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right) + f(b) \right) \]خطای این روش از مرتبه O(h⁵) است (برای یک بازه) و فرمول آن:
\[ E = -\frac{(b-a)^5}{2880} f^{(4)}(\xi) \]توجه: این روش برای توابعی که مشتق چهارم دارند، دقیق است. نکته جالب: روش سیمپسون برای چندجمله ای های درجه ≤۳ دقیق است.
مثال عددی: انتگرال ∫₀¹ x² dx را با روش سیمپسون ۱/۳ محاسبه کنید. a=0, b=1, m=0.5 f(0)=0, f(0.5)=0.25, f(1)=1 I ≈ (1-0)/6 * (0 + 4*0.25 + 1) = 1/6 * (0 + 1 + 1) = 1/6 * 2 = 1/3 = 0.33333 جواب دقیق! چون تابع x² از درجه ۲ است و روش سیمپسون برای چندجمله ای درجه ۲ و ۳ دقیق است.
مزایا: دقت بالا (مرتبه ۴)، برای بسیاری از توابع بسیار کارآمد است.
معایب: فقط برای تعداد زوج زیربازه در حالت مرکب قابل استفاده است. محاسبه بیشتری نسبت به ذوزنقه ای نیاز دارد.
کاربردها: استانداردترین روش برای انتگرال گیری عددی در بسیاری از مسائل مهندسی و علمی.
نکته: نام ۱/۳ از کسر موجود در فرمول گرفته شده است.
