روش ذوزنقه ای مرکب (Composite Trapezoidal Rule)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش ذوزنقه ای مرکب (Composite Trapezoidal Rule) :
\[ \int_a^b f(x)dx \approx h\left[\frac{1}{2}f(x_0)+f(x_1)+\cdots+f(x_{n-1})+\frac{1}{2}f(x_n)\right] \]توضیح ساده: روش ذوزنقه ای مرکب برای افزایش دقت، بازه انتگرال گیری را به n زیربازه مساوی تقسیم می کند و در هر زیربازه از روش ذوزنقه ای ساده استفاده می کند. سپس نتایج را جمع می زند. با افزایش n، دقت افزایش می یابد. این روش ساده ترین روش برای بهبود دقت در انتگرال گیری عددی است.
شرح گام به گام: بازه [a,b] را به n زیربازه مساوی با طول h = (b-a)/n تقسیم می کنیم. نقاط x_i = a + i h برای i=0,...,n. در هر زیربازه [x_{i-1}, x_i] از روش ذوزنقه ای ساده استفاده می کنیم:
\[ I_i \approx \frac{h}{2} (f(x_{i-1}) + f(x_i)) \]با جمع همه اینها و ساده سازی، فرمول کلی بدست می آید:
\[ I \approx h \left( \frac{1}{2} f(x_0) + \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + \frac{1}{2} f(x_n) \right) \]خطای این روش از مرتبه O(h²) است و فرمول دقیق آن:
\[ E = -\frac{(b-a)h^2}{12} f''(\xi) \]مثال عددی: انتگرال ∫₀¹ x² dx را با n=4 زیربازه (h=0.25) محاسبه کنید. نقاط: x₀=0, x₁=0.25, x₂=0.5, x₃=0.75, x₄=1 f(0)=0, f(0.25)=0.0625, f(0.5)=0.25, f(0.75)=0.5625, f(1)=1 I ≈ 0.25 * (0.5*0 + 0.0625 + 0.25 + 0.5625 + 0.5*1) = 0.25 * (0 + 0.0625 + 0.25 + 0.5625 + 0.5) = 0.25 * 1.375 = 0.34375 خطا: 0.34375 - 0.33333 = 0.01042 که نسبت به روش ساده (خطا 0.1667) بسیار بهبود یافته است.
مزایا: ساده، قابل فهم، با افزایش n می توان به دقت دلخواه رسید.
معایب: برای رسیدن به دقت بالا به n بزرگ نیاز است (هزینه محاسباتی بالا). همگرایی کند است (از مرتبه ۲).
کاربردها: در مسائل ساده، به عنوان روش پایه، در روش های تطبیقی.
نکته: روش ذوزنقه ای مرکب در روش رومبرگ برای بهبود مرتبه همگرایی استفاده می شود.
