روش ذوزنقه ای (Trapezoidal Rule)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش ذوزنقه ای (Trapezoidal Rule) :
\[ \int_a^b f(x)dx \approx \frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)] \]توضیح ساده: روش ذوزنقه ای ساده ترین روش برای انتگرال گیری عددی است. در این روش، ناحیه زیر منحنی را به یک ذوزنقه تقریب می زنیم که از نقاط (a,f(a)) و (b,f(b)) می گذرد. مساحت این ذوزنقه به عنوان تقریبی از انتگرال در نظر گرفته می شود. این روش ساده است، اما دقت بالایی ندارد و برای توابع با انحنای زیاد خطای آن قابل توجه است.
شرح گام به گام: فرض کنید می خواهیم انتگرال تابع f را از a تا b محاسبه کنیم. در روش ذوزنقه ای ساده:
\[ I \approx \frac{b-a}{2} (f(a) + f(b)) \]این فرمول از مساحت ذوزنقه ای با قاعده های f(a) و f(b) و ارتفاع b-a بدست می آید. خطای این روش تقریبا برابر است با:
\[ E = -\frac{(b-a)^3}{12} f''(\xi) \]که ξ نقطه ای در بازه (a,b) است. این نشان می دهد که اگر تابع خطی باشد (مشتق دوم صفر)، روش دقیق است.
مثال عددی: انتگرال ∫₀¹ x² dx = 1/3 ≈ 0.3333. با روش ذوزنقه ای: (1-0)/2 * (f(0)+f(1)) = 0.5 * (0 + 1) = 0.5 خطا: 0.5 - 0.3333 = 0.1667 که بسیار زیاد است. دلیلش این است که تابع x² در این بازه انحنای زیادی دارد.
مزایا: بسیار ساده، سریع، مناسب برای درک مفهوم انتگرال گیری عددی.
معایب: دقت پایین، برای توابع با انحنا خطای زیادی دارد.
کاربردها: در مراحل اولیه یادگیری، در مواردی که دقت بالا نیاز نیست، به عنوان جزئی از روش های مرکب.
نکته: روش ذوزنقه ای معادل انتگرال گیری از درون یاب خطی تابع است.
