تقریب با سری تیلور (Taylor Series Approximation)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
تقریب با سری تیلور (Taylor Series Approximation) :
\[ f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \]توضیح ساده: سری تیلور یکی از اساسی ترین روش ها برای تقریب توابع با چندجمله ای ها است. ایده این است که یک تابع را با استفاده از مقادیر تابع و مشتقات آن در یک نقطه (نقطه مبنا) به صورت یک چندجمله ای تقریب بزنیم. هرچه تعداد جملات بیشتر باشد، تقریب دقیق تر است، اما فقط در همسایگی نقطه مبنا معتبر است. این روش پایه و اساس بسیاری از روش های عددی دیگر است.
شرح گام به گام: برای تابع f(x) که در همسایگی نقطه a به اندازه کافی مشتق پذیر است، سری تیلور به صورت زیر تعریف می شود:
\[ f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n \]تقریب از مرتبه n با بریدن سری بعد از جمله nام بدست می آید. خطای بریدن (Truncation Error) به صورت زیر است:
\[ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-a)^{n+1} \]که ξ نقطه ای بین x و a است. این فرمول خطا برای تخمین دقت تقریب استفاده می شود.
مثال عددی: تقریب تابع f(x) = sin x در نقطه a=0 (سری مکلورن): sin x ≈ x - x³/6 + x⁵/120 - ... برای x=0.5: sin(0.5)≈0.4794. تقریب درجه ۱: x=0.5 (خطا ۰.۰۲۱-). درجه ۳: 0.5 - 0.125/6 = 0.5 - 0.02083 = 0.47917 (خطا ۰.۰۰۰۲). درجه ۵: 0.47917 + 0.03125/120 = 0.47917 + 0.00026 = 0.47943 (خطا ۰.۰۰۰۰۳). مشاهده می شود که با افزایش جملات، دقت زیاد می شود.
مزایا: ساده و مستقیم، فرمول خطای صریح دارد، برای مشتق گیری و انتگرال گیری عددی پایه است.
معایب: فقط در همسایگی نقطه مبنا دقیق است، برای فواصل دور دقت پایینی دارد. برای توابع با نوسانات زیاد یا دارای تکینگی مناسب نیست.
کاربردها: در روش های رونگ-کوتا، در مشتق گیری عددی، در تحلیل خطا، در فیزیک نظری.
نکته: سری تیلور به نام بروک تیلور، ریاضیدان انگلیسی، نامگذاری شده است.
