تقریب لژاندر (Legendre Polynomials Approximation)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
تقریب لژاندر (Legendre Polynomials Approximation) :
\[ P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} (x^2-1)^n \]توضیح ساده: چندجمله های لژاندر خانواده ای دیگر از چندجمله های متعامد هستند که با وزن ثابت w(x)=1 در بازه [-1,1] متعامد می باشند. این ویژگی آنها را برای تقریب کمترین مربعات پیوسته با وزن ثابت مناسب می سازد. همچنین در حل معادلات دیفرانسیل با روش طیفی و در انتگرال گیری گاوس-لژاندر کاربرد دارند.
شرح گام به گام: چندجمله های لژاندر P_n(x) با روابط بازگشتی زیر تعریف می شوند:
\[ P_0(x) = 1, \quad P_1(x) = x, \quad (n+1)P_{n+1}(x) = (2n+1)x P_n(x) - n P_{n-1}(x) \]خاصیت متعامد بودن:
\[ \int_{-1}^1 P_m(x) P_n(x) dx = \begin{cases} 0 & m \ne n \\ \frac{2}{2n+1} & m=n \end{cases} \]برای تقریب یک تابع f(x) در بازه [-1,1] با کمترین مربعات، بسط بر حسب P_n(x) به صورت زیر است:
\[ f(x) \approx \sum_{n=0}^N a_n P_n(x), \quad a_n = \frac{2n+1}{2} \int_{-1}^1 f(x) P_n(x) dx \]این بسط، بهترین تقریب از نظر کمترین مربعات (با وزن ثابت) را می دهد.
مثال عددی: تقریب تابع f(x) = e^x در بازه [-1,1] با چندجمله ای لژاندر درجه ۲. a₀ = (1/2) ∫ e^x P₀ dx = (1/2) ∫ e^x dx = (1/2)(e - e⁻¹) ≈ 1.1752 a₁ = (3/2) ∫ x e^x dx = (3/2) * 2/e ≈ (3/2)*0.7358 = 1.1037 (همان c₂ در مثال قبلی؟) a₂ = (5/2) ∫ ( (3x²-1)/2 ) e^x dx = (5/4) ∫ (3x²-1) e^x dx. محاسبه: ∫ x² e^x dx = e^x (x²-2x+2) از -۱ تا ۱: (e(1-2+2) - e⁻¹(1+2+2)) = e(1) - e⁻¹(5) = e - 5/e ≈ 2.718 - 1.839 = 0.879. ∫ e^x dx = 2.3504. پس ∫ (3x²-1)e dx = 3*0.879 - 2.3504 = 2.637 - 2.3504 = 0.2866. a₂ = (5/4)*0.2866 = 0.358. تقریب: f(x) ≈ 1.175 P₀ + 1.104 P₁ + 0.358 P₂. با P₂ = (3x²-1)/2، چندجمله ای بدست می آید.
مزایا: متعامد با وزن ثابت، مناسب برای کمترین مربعات، ارتباط با انتگرال گیری گاوسی.
معایب: همگرایی کندتر از چبیشف برای خطای بیشینه، محدود به بازه [-1,1].
کاربردها: در روش عناصر محدود طیفی، در انتگرال گیری عددی (گاوس-لژاندر)، در فیزیک (مسائل با تقارن کروی).
نکته: چندجمله های لژاندر در فیزیک برای حل معادله لاپلاس در مختصات کروی ظاهر می شوند.
