چندجمله های چبیشف (Chebyshev Polynomials Approximation)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
چندجمله های چبیشف (Chebyshev Polynomials Approximation) :
\[ T_n(x) = \cos(n \arccos x), \quad x \in [-1,1] \]توضیح ساده: چندجمله های چبیشف خانواده ای از چندجمله های متعامد هستند که نقش بسیار مهمی در تقریب توابع دارند. خاصیت منحصر بفرد آنها این است که بیشینه قدر مطلق آنها در بازه [-1,1] کمینه است (خاصیت مینی ماکس). به عبارت دیگر، از بین همه چندجمله های هم درجه با ضریب پیشرو ثابت، چندجمله ای چبیشف کمترین انحراف از صفر را دارد. این ویژگی آنها را برای تقریب توابع با کمترین خطای بیشینه ایده آل می کند.
شرح گام به گام: چندجمله های چبیشف نوع اول با T_n(x) نمایش داده می شوند و به صورت بازگشتی تعریف می شوند:
\[ T_0(x) = 1, \quad T_1(x) = x, \quad T_{n+1}(x) = 2x T_n(x) - T_{n-1}(x) \]خاصیت متعامد بودن با وزن w(x) = 1/√(1-x²):
\[ \int_{-1}^1 \frac{T_m(x) T_n(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx = \begin{cases} 0 & m \ne n \\ \pi & m=n=0 \\ \pi/2 & m=n\ne 0 \end{cases} \]برای تقریب یک تابع f(x) در بازه [-1,1]، آن را بر حسب چندجمله های چبیشف بسط می دهیم:
\[ f(x) \approx \sum_{k=0}^n c_k T_k(x), \quad c_k = \frac{2}{\pi} \int_{-1}^1 \frac{f(x) T_k(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx \](با ضریب متفاوت برای k=0). در عمل، از انتگرال گیری عددی یا نقاط چبیشف استفاده می شود.
مثال عددی: تقریب تابع f(x) = e^x در بازه [-1,1] با چندجمله ای چبیشف درجه ۳. ضرایب: c₀ = (1/π) ∫ e^x/√(1-x²) dx (تقریبا ۲.۵۳۲) c₁ = (2/π) ∫ x e^x/√(1-x²) dx ≈ ۱.۱۳۰ c₂ ≈ ۰.۲۷۱، c₃ ≈ ۰.۰۴۴ تقریب: f(x) ≈ 2.532 T₀ + 1.130 T₁ + 0.271 T₂ + 0.044 T₃. با جایگذاری T₀=1, T₁=x, T₂=2x²-1, T₃=4x³-3x، چندجمله ای معمولی بدست می آید.
مزایا: کمینه سازی خطای بیشینه (تقریب مینی ماکس)، همگرایی سریع، پایدار از نظر عددی.
معایب: محدود به بازه [-1,1] (با تغییر متغیر قابل تعمیم است). محاسبه ضرایب نیاز به انتگرال گیری دارد.
کاربردها: در طراحی فیلترهای دیجیتال، در حل عددی معادلات دیفرانسیل (روش طیفی)، در تقریب توابع خاص.
نکته: نقاط چبیشف (ریشه های T_n(x)) در درون یابی نقش ویژه ای دارند و از پدیده رونگه جلوگیری می کنند.
