تقریب پاده (Padé Approximant / Rational Function Approximation)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
تقریب پاده (Padé Approximant / Rational Function Approximation) :
\[ R_{L/M}(x) = \frac{P_L(x)}{Q_M(x)} = \frac{p_0 + p_1 x + \cdots + p_L x^L}{1 + q_1 x + \cdots + q_M x^M} \]توضیح ساده: تقریب پاده روشی برای تقریب توابع با استفاده از توابع گویا (کسری) است، به جای چندجمله ای ها. یک تقریب پاده به صورت کسری از دو چندجمله ای نوشته می شود و طوری انتخاب می شود که بسط سری تیلور آن با بسط سری تیلور تابع اصلی تا بالاترین درجه ممکن تطابق داشته باشد. این تقریب ها معمولا برای توابعی که قطب (Pole) دارند یا در بی نهایت به مقدار ثابتی میل می کنند، بسیار بهتر از چندجمله ای ها عمل می کنند.
شرح گام به گام: فرض کنید تابع f(x) را با یک تابع گویا به صورت R(x) = P_L(x)/Q_M(x) تقریب می زنیم، که P_L درجه L و Q_M درجه M است (با جمله ثابت Q_M برابر ۱). بسط تیلور f(x) را تا درجه L+M می نویسیم:
\[ f(x) = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + \cdots + c_{L+M} x^{L+M} + O(x^{L+M+1}) \]می خواهیم ضرایب p_i و q_i را چنان پیدا کنیم که:
\[ (p_0 + p_1 x + \cdots + p_L x^L) - (1 + q_1 x + \cdots + q_M x^M)(c_0 + c_1 x + \cdots + c_{L+M} x^{L+M}) = 0 \]با برابر قرار دادن ضرایب x^k برای k=0,...,L+M، یک دستگاه خطی بدست می آید که ابتدا ضرایب q_i (از معادلات با درجات بالاتر) و سپس p_i (از معادلات با درجات پایین تر) محاسبه می شوند.
مثال عددی: تقریب پاده [1/1] برای تابع f(x) = e^x. بسط تیلور: 1 + x + x²/2 + x³/6 + ... L=1, M=1: R(x) = (p₀ + p₁x)/(1 + q₁x). معادلات: (p₀ + p₁x) - (1 + q₁x)(1 + x) = ۰ تا درجه ۲ (چون L+M=2) مرتبه ۰: p₀ - 1 = 0 ⇒ p₀ = 1 مرتبه ۱: p₁ - (1*q₁ + 1) = 0 ⇒ p₁ - q₁ - 1 = 0 مرتبه ۲: - (1*q₁ + 1/2) = 0 ⇒ -q₁ - 1/2 = 0 ⇒ q₁ = -1/2 سپس p₁ = q₁ + 1 = 1/2 بنابراین R(x) = (1 + x/2)/(1 - x/2) = (2+x)/(2-x). این تقریب در x=1 مقدار ۳ می دهد در حالی که e≈2.718، خطا حدود ۱۰٪. برای x=2، e²≈7.389، R(2)=4/0 تعریف نشده (قطب) که نشان دهنده محدودیت است.
مزایا: برای توابع با قطب ها یا رفتار مجانبی، بسیار بهتر از چندجمله ای ها عمل می کند. همگرایی سریع تر برای برخی توابع.
معایب: محاسبه ضرایب پیچیده تر است. ممکن است قطب های مصنوعی ایجاد کند. برای توابع با نوسانات زیاد مناسب نیست.
کاربردها: در دینامیک سیالات، در نظریه کنترل، در فیزیک محاسباتی، در شبیه سازی مدارها.
نکته: تقریب پاده به افتخار هانری پاده، ریاضیدان فرانسوی، نامگذاری شده است.
