برازش با کمترین مربعات پیوسته (Continuous Least Squares Fitting)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
برازش با کمترین مربعات پیوسته (Continuous Least Squares Fitting) :
\[ \min_f \int_a^b (f(x) - g(x))^2 w(x) dx \]توضیح ساده: برازش با کمترین مربعات پیوسته یک تعمیم از حالت گسسته به فضای پیوسته است. در اینجا به جای مجموعه ای از نقاط گسسته، یک تابع پیوسته g(x) در بازه [a,b] داریم و می خواهیم آن را با ترکیب خطی از توابع پایه φ_j(x) تقریب بزنیم. معیار خطا، انتگرال مربع تفاضل وزن دار است. این روش در آنالیز عددی و نظریه تقریب کاربرد دارد و به یافتن بهترین تقریب در فضای تابعی منجر می شود.
شرح گام به گام: می خواهیم f(x) = ∑ c_j φ_j(x) را طوری پیدا کنیم که خطای زیر کمینه شود:
\[ E(c_1,...,c_n) = \int_a^b w(x) \left( g(x) - \sum_{j=1}^n c_j \phi_j(x) \right)^2 dx \]که w(x) ≥ ۰ تابع وزن است. با مشتق گیری نسبت به c_k، به معادلات نرمال پیوسته می رسیم:
\[ \sum_{j=1}^n c_j \int_a^b w(x) \phi_j(x) \phi_k(x) dx = \int_a^b w(x) g(x) \phi_k(x) dx, \quad k=1,...,n \]این یک دستگاه خطی با ضرایب انتگرالی است. اگر توابع پایه متعامد (Orthogonal) نسبت به وزن w باشند، دستگاه قطری می شود و ضرایب به سادگی از فرمول زیر بدست می آیند:
\[ c_k = \frac{\int_a^b w(x) g(x) \phi_k(x) dx}{\int_a^b w(x) \phi_k(x)^2 dx} \]این خاصیت مهمی است و دلیل استفاده از چندجمله های متعامد (مانند لژاندر، چبیشف، لاگر، هرمیت) در تقریب توابع است.
مثال عددی: تابع g(x) = e^x را در بازه [-1,1] با چندجمله ای درجه ۱ (خط) با وزن w(x)=1 تقریب بزنیم. توابع پایه: φ₁=1, φ₂=x. انتگرال ها: ∫ φ₁² dx = ∫_{-1}^{1} 1 dx = 2 ∫ φ₂² dx = ∫ x² dx = 2/3 ∫ φ₁ φ₂ dx = ∫ x dx = 0 (چون فرد) ∫ g φ₁ dx = ∫ e^x dx = e - e⁻¹ ≈ 2.3504 ∫ g φ₂ dx = ∫ x e^x dx = [xe^x - e^x]_{-1}^{1} = (e - e) - ((-e⁻¹) - e⁻¹) = 0 - (-2/e) = 2/e ≈ 0.7358 دستگاه: 2 c₁ + 0 = 2.3504 ⇒ c₁ = 1.1752 0 + (2/3) c₂ = 0.7358 ⇒ c₂ = 0.7358 * 3/2 = 1.1037 پس بهترین تقریب خطی: f(x) = 1.1752 + 1.1037 x
مزایا: پایه ای برای نظریه تقریب، ارتباط با چندجمله های متعامد، دقت بالا برای توابع پیوسته.
معایب: محاسبه انتگرال ها ممکن است دشوار باشد. برای توابع با نوسانات زیاد، نیاز به درجه بالاست.
کاربردها: در حل عددی معادلات دیفرانسیل با روش طیفی، در تقریب توابع، در فیزیک و مهندسی.
نکته: چندجمله های چبیشف با وزن w(x)=1/√(1-x²) نقش ویژه ای در تقریب توابع دارند و منجر به کمینه سازی بیشینه خطا می شوند.
