برازش چندجمله ای (Polynomial Fitting)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
برازش چندجمله ای (Polynomial Fitting) :
توضیح ساده: برازش چندجمله ای روشی برای پیدا کردن یک چندجمله ای است که به بهترین شکل به مجموعه ای از نقاط داده شده نزدیک شود. این روش یک حالت خاص از روش کمترین مربعات است. اگر درجه چندجمله ای برابر با تعداد نقاط منهای یک باشد، چندجمله ای درون یاب (که دقیقا از نقاط عبور می کند) بدست می آید. اما معمولا درجه را کمتر انتخاب می کنیم تا نوسانات کاهش یابد و به یک روند کلی دست یابیم. این روش در تحلیل داده ها و مدل سازی تجربی بسیار رایج است.
شرح گام به گام: فرض کنید نقاط (xᵢ,yᵢ) برای i=1..m داریم. می خواهیم چندجمله ای درجه n (با n < m-1) به صورت P(x) = a₀ + a₁x + ... + aₙxⁿ پیدا کنیم که مجموع مربعات خطاها کمینه شود:
\[ E = \sum_{i=1}^m (y_i - P(x_i))^2 \]با مشتق گیری نسبت به ضرایب aⱼ، به معادلات نرمال (Normal Equations) می رسیم:
\[ \sum_{i=1}^m y_i x_i^k = \sum_{j=0}^n a_j \sum_{i=1}^m x_i^{j+k}, \quad k=0,...,n \]این یک دستگاه خطی n+1 معادله با n+1 مجهول است. حل این دستگاه ضرایب aⱼ را می دهد. برای پایداری عددی بهتر، معمولا از چندجمله های متعامد (مثل چبیشف) یا تجزیه QR استفاده می شود.
مثال عددی: نقاط (۱,۲.۱), (۲,۲.۹), (۳,۴.۱), (۴,۵.۰) را با خط راست (درجه ۱) برازش دهید. معادلات نرمال: مجموع x = 1+2+3+4=10، مجموع y = 2.1+2.9+4.1+5=14.1، مجموع x²=1+4+9+16=30، مجموع xy=1*2.1+2*2.9+3*4.1+4*5=2.1+5.8+12.3+20=40.2 دستگاه: [4, 10; 10, 30] [a₀; a₁] = [14.1; 40.2] حل: a₁ = (4*40.2 - 10*14.1)/(4*30 - 10*10) = (160.8 - 141)/(120-100) = 19.8/20 = 0.99 a₀ = (14.1 - 10*0.99)/4 = (14.1 - 9.9)/4 = 4.2/4 = 1.05 خط برازش: y = 1.05 + 0.99x
مزایا: ساده و قابل فهم، قابل استفاده در بسیاری از مسائل عملی.
معایب: برای درجه های بالا، ماتریس بدحالت (ill-conditioned) می شود. پدیده رونگه برای درجه های بالا رخ می دهد.
کاربردها: در علوم تجربی برای مدل سازی داده ها، در اقتصاد، در مهندسی برای تخمین پارامترها.
نکته: در عمل، بهتر است از چندجمله های متعامد مانند چبیشف برای برازش استفاده شود.
