درون یابی مثلثاتی (Trigonometric Interpolation)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
درون یابی مثلثاتی (Trigonometric Interpolation) :
توضیح ساده: درون یابی مثلثاتی روشی برای درون یابی توابع تناوبی با استفاده از ترکیب خطی توابع سینوس و کسینوس است. این روش برای داده هایی که ماهیت تناوبی دارند (مانند سیگنال های صوتی، داده های فصلی) بسیار مناسب است. درون یاب مثلثاتی معمولا به صورت سری فوریه گسسته (Discrete Fourier Series) نوشته می شود. این روش پایه و اساس تحلیل فوریه و پردازش سیگنال است.
شرح گام به گام: برای n+1 نقطه (x₀,y₀) تا (xₙ,yₙ) با xها با فاصله مساوی در بازه [۰,۲π) (معمولا xⱼ = 2πj/(n+1))، درون یاب مثلثاتی به صورت زیر است:
\[ P(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^m (a_k \cos(kx) + b_k \sin(kx)) \]که m = n/2 اگر n زوج است و m = (n-1)/2 اگر n فرد است. ضرایب a_k و b_k از روابط زیر بدست می آیند (شبیه ضرایب فوریه گسسته):
\[ a_k = \frac{2}{n+1} \sum_{j=0}^n y_j \cos(kx_j) \] \[ b_k = \frac{2}{n+1} \sum_{j=0}^n y_j \sin(kx_j) \]این درون یاب دقیقا از همه نقاط عبور می کند و برای توابع تناوبی بسیار دقیق است.
مثال عددی: نقاط (۰,۱), (π/۲,۰), (π,-۱), (۳π/۲,۰) را در نظر بگیرید (مشابه تابع sin). n=3 فرد، m=1. محاسبه ضرایب: a₀ = (2/4)(1+0-1+0) = 0.5*0 = 0 a₁ = (2/4)(1*cos0 + 0*cos(π/2) + (-1)*cosπ + 0*cos(3π/2)) = 0.5*(1*1 + 0 + (-1)*(-1) + 0) = 0.5*(1+1)=1 b₁ = (2/4)(1*sin0 + 0*sin(π/2) + (-1)*sinπ + 0*sin(3π/2)) = 0.5*(0+0+0+0)=0 پس P(x) = sin x (چون a₁=1) که دقیقا تابع اصلی است.
مزایا: عالی برای توابع تناوبی، بدون نوسانات ناخواسته (پدیده رونگه)، ارتباط با تبدیل فوریه.
معایب: فقط برای داده های با فاصله مساوی در بازه تناوب مناسب است. برای توابع غیرتناوبی ممکن است رفتار بدی داشته باشد.
کاربردها: در پردازش سیگنال، تحلیل سری های زمانی، تصویربرداری پزشکی، مخابرات.
نکته: الگوریتم FFT (تبدیل سریع فوریه) محاسبه ضرایب را بسیار سریع انجام می دهد.
