منحنی های بزیه (Bézier Curves)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
منحنی های بزیه (Bézier Curves) :
توضیح ساده: منحنی های بزیه یکی از مهم ترین ابزارهای طراحی منحنی در گرافیک کامپیوتری و CAD هستند. این منحنی ها توسط چند نقطه کنترل تعریف می شوند و منحنی همواری ایجاد می کنند که از نقطه اول و آخر عبور می کند و به نقاط کنترلی دیگر نزدیک می شود. فرمول آن بر اساس چندجمله های برنشتاین است. منحنی های بزیه در طراحی فونت ها (مانند TrueType)، انیمیشن، و نرم افزارهای گرافیکی (مانند Adobe Illustrator) کاربرد گسترده دارند.
شرح گام به گام: برای n+1 نقطه کنترل P₀,...,Pₙ، منحنی بزیه از درجه n به صورت زیر تعریف می شود:
\[ C(t) = \sum_{i=0}^n B_{i,n}(t) P_i, \quad t \in [0,1] \]که B_{i,n}(t) = C(n,i) t^i (1-t)^{n-i} چندجمله ای برنشتاین است. خواص مهم:
- منحنی از P₀ (در t=0) و Pₙ (در t=1) عبور می کند.
- در نقاط انتهایی، مماس منحنی با خط واصل P₀-P₁ و P_{n-1}-Pₙ موازی است.
- منحنی درون پوسته محدب نقاط کنترل قرار دارد (خاصیت پوسته محدب).
- با تغییر یک نقطه کنترل، کل منحنی تغییر می کند (کنترل سراسری).
مثال عددی: منحنی بزیه درجه ۳ با نقاط کنترل P₀=(0,0), P₁=(1,2), P₂=(3,2), P₃=(4,0). فرمول: C(t) = (1-t)³P₀ + 3t(1-t)²P₁ + 3t²(1-t)P₂ + t³P₃ برای t=0.5: (0.125*0,0) + (0.375*1,2) + (0.375*3,2) + (0.125*4,0) = (0.375+1.125+0.5, 0.75+0.75+0) = (2, 1.5). این منحنی در نرم افزارهای طراحی به عنوان "منحنی قلم" معروف است.
مزایا: ساده و قابل فهم، کنترل بصری، خواص هندسی خوب، الگوریتم پایدار (الگوریتم دکاستلیو).
معایب: برای منحنی های پیچیده به درجه بالا نیاز دارد (که ناپایدار است). کنترل سراسری (تغییر یک نقطه کل منحنی را عوض می کند).
کاربردها: طراحی فونت (PostScript، TrueType)، گرافیک برداری (SVG)، انیمیشن، طراحی صنعتی.
نکته: منحنی های بزیه به افتخار پیر بزیه (مهندس فرانسوی شرکت رنو) نامگذاری شده اند، اگرچه پل دکاستلیو نیز به طور مستقل به نتایج مشابهی رسیده بود.
