منحنی های پارامتری (Parametric Curves)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
منحنی های پارامتری (Parametric Curves) :
توضیح ساده: منحنی های پارامتری روشی برای نمایش منحنی ها با استفاده از یک پارامتر مستقل (معمولا t) هستند. برخلاف نمایش تابعی y = f(x) که ممکن است نتواند منحنی های بسته یا دارای حلقه را نمایش دهد، نمایش پارامتری هر نقطه از منحنی را به صورت (x(t), y(t)) (و در سه بعد z(t)) نشان می دهد. این روش بسیار انعطاف پذیر است و پایه و اساس نمایش منحنی ها در گرافیک کامپیوتری و CAD است.
شرح گام به گام: یک منحنی پارامتری در صفحه به صورت زیر تعریف می شود:
\[ C(t) = (x(t), y(t)), \quad t \in [a, b] \]توابع x(t) و y(t) می توانند هر نوع تابعی باشند: چندجمله ای، مثلثاتی، یا ترکیبی. مثال های معروف:
- خط راست: (x₀ + t(x₁-x₀), y₀ + t(y₁-y₀)) برای t∈[0,1]
- دایره: (r cos t, r sin t) برای t∈[0, 2π]
- منحنی بزیه: با توابع پایه برنشتاین
مزایای نمایش پارامتری:
۱. می توان منحنی های بسته و با حلقه را نمایش داد.
۲. محاسبه مشتق و بردار مماس آسان است: C'(t) = (x'(t), y'(t))
۳. تبدیلات آفین (انتقال، چرخش، مقیاس) به راحتی اعمال می شوند.
۴. برای نمایش سطوح نیز قابل تعمیم است (با دو پارامتر).
مثال عددی: منحنی پارامتری بیضی: x(t) = 2 cos t, y(t) = sin t, t∈[0,2π]. این منحنی یک بیضی با عرض ۴ و ارتفاع ۲ رسم می کند. مشتق: x'(t) = -2 sin t, y'(t) = cos t که بردار مماس را می دهد.
مزایا: انعطاف پذیری بالا، مناسب برای گرافیک و طراحی، سهولت در محاسبات هندسی.
معایب: ممکن است پارامتری سازی یکنواخت نباشد (تغییر سرعت حرکت روی منحنی). نیاز به انتخاب پارامتر مناسب.
کاربردها: پایه تمام سیستم های گرافیک کامپیوتری، طراحی به کمک کامپیوتر، رباتیک (مسیر حرکت)، انیمیشن.
نکته: منحنی های بزیه، B-Spline و NURBS همگی به صورت پارامتری تعریف می شوند.
