اسپلاین بی (B-Spline)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
اسپلاین بی (B-Spline) :
توضیح ساده: اسپلاین های بی (B-Spline) یک تعمیم مهم از اسپلاین ها هستند که پایه ای برای طراحی منحنی ها و سطوح در سیستم های CAD/CAM می باشند. برخلاف اسپلاین های درون یاب که از نقاط داده شده عبور می کنند، اسپلاین های بی معمولا از نقاط کنترل عبور نمی کنند، بلکه توسط آنها شکل می گیرند. این خاصیت به طراح اجازه می دهد با جابجایی نقاط کنترل، منحنی را به صورت محلی تغییر دهد. B-Splineها همواری بالایی دارند و از نظر عددی بسیار پایدار هستند.
شرح گام به گام: یک منحنی B-Spline از درجه k (معمولا درجه ۳) با نقاط کنترل P₀,...,Pₙ و بردار گره (Knot vector) U = [u₀,...,u_{m}] تعریف می شود:
\[ C(u) = \sum_{i=0}^n N_{i,k}(u) P_i \]که N_{i,k}(u) توابع پایه B-Spline هستند که به صورت بازگشتی تعریف می شوند (الگوریتم کاکس-دبور). برای k=0:
\[ N_{i,0}(u) = \begin{cases} 1 & u_i \le u < u_{i+1} \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} \]و برای k>0:
\[ N_{i,k}(u) = \frac{u - u_i}{u_{i+k} - u_i} N_{i,k-1}(u) + \frac{u_{i+k+1} - u}{u_{i+k+1} - u_{i+1}} N_{i+1,k-1}(u) \]خواص مهم: توابع پایه غیرمنفی، جمع آنها ۱ است، و هر تابع پایه فقط در یک بازه محلی غیرصفر است (حمایت موضعی).
مثال عددی: یک B-Spline درجه ۳ با نقاط کنترل P₀=(0,0), P₁=(1,1), P₂=(2,0), P₃=(3,1) و بردار گره یکنواخت [0,1,2,3,4,5,6,7]. منحنی حاصل یک منحنی هموار است که به نقاط کنترل نزدیک می شود اما از آنها عبور نمی کند (به جز در موارد خاص). با تغییر P₁ به (1,2)، فقط بخش میانی منحنی تغییر می کند و بقیه ثابت می ماند.
مزایا: کنترل محلی (تغییر یک نقطه فقط بخشی از منحنی را تغییر می دهد)، همواری بالا، پایدار از نظر عددی، نمایش یکتا.
معایب: پیچیدگی درک و پیاده سازی، نیاز به تعریف بردار گره.
کاربردها: استاندارد صنعتی در طراحی خودرو، هواپیما، و محصولات (CAD/CAM)، در گرافیک کامپیوتری، در انیمیشن سازی.
نکته: NURBS (Non-Uniform Rational B-Splines) تعمیم B-Spline با وزن دهی و توانایی نمایش دقیق مقاطع مخروطی (مثل دایره) هستند.
