درون یابی اسپلاین درجه دوم (Quadratic Spline Interpolation)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :

درون یابی اسپلاین درجه دوم (Quadratic Spline Interpolation) :

توضیح ساده: اسپلاین درجه دوم مشابه اسپلاین مکعبی است، اما از چندجمله ای های درجه دوم در هر بازه استفاده می کند. این اسپلاین ها در نقاط اتصال، مقادیر تابع و مشتق اول را پیوسته نگه می دارند، اما مشتق دوم ممکن است ناپیوسته باشد. این روش ساده تر از اسپلاین مکعبی است، اما همواری کمتری دارد. معمولا برای کاربردهایی که به همواری زیاد نیاز نیست استفاده می شود.

شرح گام به گام: در هر بازه [xᵢ, xᵢ₊₁]، چندجمله ای درجه دوم:

شرایط:

۱. Sᵢ(xᵢ) = yᵢ (برای i=0,...,n-1)

۲. Sᵢ(xᵢ₊₁) = yᵢ₊₁ (برای i=0,...,n-1)

۳. S'ᵢ(xᵢ₊₁) = S'ᵢ₊₁(xᵢ₊₁) برای i=0,...,n-2 (پیوستگی مشتق اول)

این شرایط n+1 معادله ایجاد می کنند: ۲n معادله از شرط عبور و n-1 معادله از پیوستگی مشتق. مجموعا ۳n-1 معادله برای ۳n مجهول (۳ مجهول در هر بازه) داریم. بنابراین یک درجه آزادی باقی می ماند که معمولا با یک شرط اضافی (مثلا مشتق اول در نقطه شروع) تعیین می شود.

مثال عددی: نقاط (۰,۰), (۱,۱), (۲,۰) را با اسپلاین درجه دوم در نظر بگیرید. با شرط S'₀(0)=1 (مشتق اول در نقطه شروع برابر ۱). برای بازه اول [۰,۱]: S₀(x) = a₀ + b₀x + c₀x². شرط S₀(0)=0 ⇒ a₀=0. شرط S₀(1)=1 ⇒ b₀ + c₀ = 1. شرط مشتق S'₀(0)=1 ⇒ b₀=1 ⇒ نتیجه c₀=0. پس S₀(x)=x. بازه دوم [۱,۲]: S₁(x) = a₁ + b₁(x-1) + c₁(x-1)². شرط S₁(1)=1 ⇒ a₁=1. شرط S₁(2)=0 ⇒ 1 + b₁(1) + c₁(1)² = 1 + b₁ + c₁ = 0 ⇒ b₁ + c₁ = -1. شرط پیوستگی مشتق در x=1: S'₀(1)=1 = S'₁(1)=b₁ ⇒ b₁=1 ⇒ c₁ = -2. پس S₁(x) = 1 + (x-1) - 2(x-1)².

مزایا: ساده تر از اسپلاین مکعبی، نیاز به حل دستگاه کوچک تر.

معایب: همواری کمتر (فقط C¹)، ممکن است رفتار غیرطبیعی در برخی نقاط داشته باشد.

کاربردها: در برخی مسائل مهندسی که همواری درجه دوم کافی است، در گرافیک کامپیوتری ساده.

نکته: اسپلاین درجه دوم معمولا به عنوان پله ای بین اسپلاین خطی و مکعبی در نظر گرفته می شود.