درون یابی اسپلاین مکعبی (Cubic Spline Interpolation)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
درون یابی اسپلاین مکعبی (Cubic Spline Interpolation) :
توضیح ساده: اسپلاین مکعبی یکی از محبوب ترین روش های درون یابی است. در این روش، بین هر دو نقطه متوالی، یک چندجمله ای درجه سوم قرار می دهیم، با این شرط که در نقاط اتصال، مقادیر تابع، مشتق اول و مشتق دوم پیوسته باشند. این کار منحنی ای بسیار هموار ایجاد می کند که از همه نقاط عبور می کند و ظاهری طبیعی و نرم دارد. اسپلاین مکعبی در طراحی به کمک کامپیوتر، گرافیک، و شبیه سازی های علمی کاربرد فراوان دارد.
شرح گام به گام: فرض کنید n+1 نقطه (x₀,y₀) تا (xₙ,yₙ) داریم. در هر بازه [xᵢ, xᵢ₊₁]، یک چندجمله ای درجه سوم Sᵢ(x) تعریف می کنیم:
\[ S_i(x) = a_i + b_i(x-x_i) + c_i(x-x_i)^2 + d_i(x-x_i)^3 \]شرایط:
۱. Sᵢ(xᵢ) = yᵢ و Sᵢ(xᵢ₊₁) = yᵢ₊₁ (عبور از نقاط)
۲. S'ᵢ(xᵢ₊₁) = S'ᵢ₊₁(xᵢ₊₁) (پیوستگی مشتق اول)
۳. S''ᵢ(xᵢ₊₁) = S''ᵢ₊₁(xᵢ₊₁) (پیوستگی مشتق دوم)
۴. دو شرط مرزی اضافی (مثلا مشتق دوم در نقاط انتهایی صفر باشد = اسپلاین طبیعی)
با حل یک دستگاه خطی سه قطری، ضرایب cᵢ (مشتق دوم) بدست می آید. سپس aᵢ, bᵢ, dᵢ از روی cᵢ محاسبه می شوند.
مثال عددی: نقاط (۰,۰), (۱,۱), (۲,۰) را در نظر بگیرید. اسپلاین مکعبی طبیعی (مشتق دوم صفر در انتها): حل دستگاه: منجر به S₀(x) = 1.5x - 0.5x³ برای بازه [۰,۱] و S₁(x) = 1.5(2-x) - 0.5(2-x)³ برای بازه [۱,۲] می شود. این منحنی در x=۱ مقدار ۱، مشتق ۰، و مشتق دوم ۳- دارد و بسیار هموار است.
مزایا: همواری بالا (C²)، بدون نوسانات شدید (برخلاف چندجمله ای های درجه بالا)، حل کارآمد با دستگاه سه قطری.
معایب: پیچیده تر از اسپلاین خطی، نیاز به حل دستگاه معادلات.
کاربردها: در طراحی فونت ها (TrueType)، در انیمیشن سازی، در شبیه سازی مسیر حرکت، در تحلیل داده های علمی.
نکته: اسپلاین مکعبی به دلیل همواری و پایداری، یکی از پرکاربردترین روش های درون یابی است.
