درون یابی اسپلاین خطی (Linear Spline Interpolation)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :

درون یابی اسپلاین خطی (Linear Spline Interpolation) :

توضیح ساده: درون یابی اسپلاین خطی ساده ترین نوع درون یابی قطعه ای است. در این روش، نقاط داده شده را با خطوط راست به هم وصل می کنیم. یعنی بین هر دو نقطه متوالی، یک خط مستقیم رسم می کنیم. نتیجه یک منحنی پیوسته (اما ناهموار) است که از همه نقاط عبور می کند. این روش بسیار ساده و سریع است، اما در نقاط اتصال، مشتق پیوسته نیست (شکستگی در زاویه وجود دارد).

شرح گام به گام: فرض کنید نقاط (x₀,y₀), (x₁,y₁), ..., (xₙ,yₙ) به ترتیب صعودی x داریم. در بازه [xᵢ, xᵢ₊₁]، خطی به صورت زیر تعریف می کنیم:

این خط از دو نقطه انتهایی بازه عبور می کند. برای هر x بین x₀ و xₙ، ابتدا بازه مربوطه را پیدا کرده و سپس مقدار را از فرمول بالا محاسبه می کنیم.

مثال عددی: نقاط (۱,۲), (۳,۴), (۴,۵) را در نظر بگیرید. بازه [۱,۳]: S₀(x) = 2 + ((4-2)/(3-1))(x-1) = 2 + (2/2)(x-1) = 2 + (x-1) = x+1 بازه [۳,۴]: S₁(x) = 4 + ((5-4)/(4-3))(x-3) = 4 + 1*(x-3) = x+1 جالب است که در این مثال خاص، هر دو بازه یک خط راست می دهند (چون نقاط روی یک خط هستند). در حالت کلی، خطوط در دو بازه متفاوت خواهند بود. برای x=۲: در بازه اول، S₀(2)=2+1=3. برای x=۳.۵: در بازه دوم، S₁(3.5)=3.5+1=4.5.

مزایا: بسیار ساده و سریع، پایدار، بدون نوسان (برخلاف چندجمله ای های درجه بالا).

معایب: منحنی هموار نیست (فقط C⁰، یعنی پیوسته اما مشتق اول ناپیوسته). برای کاربردهایی که به همواری نیاز دارند مناسب نیست.

کاربردها: در ترسیم سریع منحنی ها، در مراحل ابتدایی تحلیل داده ها، در برخی مسائل مهندسی که همواری اهمیت چندانی ندارد.

نکته: اسپلاین خطی اساس روش های پیچیده تر مانند اسپلاین مکعبی است. همچنین در روش های عددی برای انتگرال گیری (روش ذوزنقه ای) از همین ایده استفاده می شود.