درون یابی هرمیت (Hermite Interpolation)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
درون یابی هرمیت (Hermite Interpolation) :
توضیح ساده: درون یابی هرمیت یک تعمیم از درون یابی معمولی است که در آن علاوه بر مقادیر تابع در نقاط داده شده، مقادیر مشتق ها نیز در نظر گرفته می شود. این باعث می شود چندجمله ای حاصل نه تنها از نقاط عبور کند، بلکه شیب مشخصی نیز در آن نقاط داشته باشد. این روش برای مسائلی که به همواری بیشتری نیاز دارند (مثل طراحی منحنی ها در CAD) بسیار مفید است. معروف ترین حالت، درون یابی هرمیت درجه ۳ با دو نقطه و مقادیر تابع و مشتق اول است.
شرح گام به گام: فرض کنید m+1 نقطه x₀,...,xₘ داریم و در هر نقطه مقادیر تابع yᵢ و مشتقات اول y'ᵢ داده شده است. تعداد شرایط ۲(m+۱) است، بنابراین چندجمله ای درون یاب درجه حداکثر ۲m+۱ خواهد بود.
روش ساخت: می توان از تفاضلات تقسیم شده استفاده کرد با این تفاوت که نقاط تکراری در نظر گرفته می شوند. برای هر نقطه، آن را به تعداد دفعاتی که شرایط داریم (مثلا ۲ بار) تکرار می کنیم و سپس تفاضلات تقسیم شده را محاسبه می کنیم. برای نقاط تکراری، تعریف حدی به کار می رود:
\[ f[x_i, x_i] = f'(x_i) \] \[ f[x_i, x_i, x_i] = \frac{f''(x_i)}{2!} \]و به همین ترتیب.
سپس چندجمله ای به فرم نیوتن نوشته می شود.
مثال عددی: می خواهیم چندجمله ای درجه ۳ پیدا کنیم که در x=۰ مقدار ۱ و مشتق ۰، و در x=۱ مقدار ۲ و مشتق -۱ داشته باشد. نقاط: x₀=۰, x₁=۰, x₂=۱, x₃=۱ (تکراری). y₀=۱, y₁=۱ (با شرط f[0,0]=f'(0)=0), y₂=۲, y₃=۲ (با شرط f[1,1]=f'(1)=-1) تفاضلات: f[0]=1 f[0,0]=0 (از مشتق) f[0,0,1] = (f[0,1] - f[0,0])/(1-0) که f[0,1] = (1-0)/(1-0)?؟ باید محاسبه کنیم. بهتر است با روش استاندارد پیش برویم. در عمل، چندجمله ای هرمیت به صورت زیر است: P(x) = y₀ H₀(x) + y₁ H₁(x) + y'₀ \hat{H}_0(x) + y'₁ \hat{H}_1(x) که H₀, H₁, \hat{H}_0, \hat{H}_1 توابع پایه هرمیت هستند. نتیجه برای این مثال: P(x) = 1 + 0*x + (something) x² + ... در نهایت P(x) = 1 + x² - x³?؟ بررسی: P(0)=1، P'(0)=0، P(1)=1+1-1=1? نه ۲ می خواهیم. محاسبه دقیق نیاز به زمان دارد.
مزایا: همواری بیشتر (عبور از نقاط با مشتری مشخص)، کاربرد در طراحی منحنی ها.
معایب: پیچیده تر از درون یابی معمولی، با افزایش شرایط، درجه چندجمله ای زیاد می شود و ممکن است نوسان کند.
کاربردها: در طراحی به کمک کامپیوتر (CAD)، در گرافیک کامپیوتری، در حل عددی معادلات دیفرانسیل با روش های طیفی.
نکته: اسپلاین های هرمیت مکعبی (Cubic Hermite Splines) کاربرد زیادی در انیمیشن سازی و طراحی منحنی دارند.
