روش نیویل (Neville's Method)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش نیویل (Neville's Method) :
توضیح ساده: روش نیویل یک الگوریتم بازگشتی برای ارزیابی چندجمله ای درون یاب در یک نقطه خاص x است، بدون اینکه ضرایب چندجمله ای را صریحا محاسبه کند. این روش بر اساس این ایده است که مقدار چندجمله ای درون یاب برای یک زیرمجموعه از نقاط را می توان از مقادیر زیرمجموعه های کوچک تر به دست آورد. این روش پایدارتر از روش های مستقیم است و برای تخمین خطا نیز مفید است.
شرح گام به گام: برای نقاط (x₀,y₀), ..., (xₙ,yₙ) و نقطه مورد نظر x، یک جدول بازگشتی می سازیم:
۱. تعریف P_{i,i}(x) = y_i
۲. برای k از ۱ تا n:
\[ P_{i,i+k}(x) = \frac{(x - x_i) P_{i+1,i+k}(x) - (x - x_{i+k}) P_{i,i+k-1}(x)}{x_{i+k} - x_i} \]۳. مقدار مورد نظر P_{0,n}(x) است که مقدار چندجمله ای درون یاب در نقطه x می باشد.
این روش در هر مرحله یک تخمین از خطا نیز به دست می دهد (تفاوت بین دو مقدار مجاور در جدول).
مثال عددی: نقاط (۱,۲), (۳,۴), (۴,۵) و x=۲. P₀₀ = ۲، P₁₁ = ۴، P₂₂ = ۵. k=1: P₀₁ = ((2-1)*4 - (2-3)*2)/(3-1) = (1*4 - (-1)*2)/2 = (4+2)/2 = 6/2 = 3 P₁₂ = ((2-3)*5 - (2-4)*4)/(4-3) = ((-1)*5 - (-2)*4)/1 = (-5 +8)/1 = 3 k=2: P₀₂ = ((2-1)*3 - (2-4)*3)/(4-1) = (1*3 - (-2)*3)/3 = (3+6)/3 = 9/3 = 3 مقدار در x=۲ برابر ۳ است (همان نتیجه قبلی).
مزایا: پایدار از نظر عددی، مناسب برای ارزیابی در یک نقطه خاص، تخمین خطا به همراه دارد.
معایب: برای محاسبه در چند نقطه مختلف، باید جدول را برای هر نقطه دوباره ساخت. برای تعداد نقاط زیاد، محاسبات زیادی نیاز دارد.
کاربردها: در برون یابی ریچاردسون، در روش های تطبیقی، در مسائلی که نیاز به ارزیابی در نقاط معدودی داریم.
نکته: این روش به افتخار اریک نیویل، ریاضیدان استرالیایی، نامگذاری شده است.
