روش تفاضلات تقسیم شده نیوتن (Newton's Divided Difference Method)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش تفاضلات تقسیم شده نیوتن (Newton's Divided Difference Method) :
\[ f[x_0, x_1, \dots, x_k] \]چندجمله ای:
\[ P(x) = f[x_0] + f[x_0,x_1](x-x_0) + \dots \]توضیح ساده: روش تفاضلات تقسیم شده نیوتن یک روش کارآمد و انعطاف پذیر برای درون یابی چندجمله ای است. برخلاف روش لاگرانژ، در این روش چندجمله ای به صورت یک سری از جملات با پایه های (x-x₀), (x-x₀)(x-x₁), ... نوشته می شود. ضرایب با استفاده از تفاضلات تقسیم شده محاسبه می شوند که از روی نقاط داده شده بدست می آیند. مزیت اصلی این روش این است که با اضافه شدن یک نقطه جدید، نیازی به محاسبه مجدد همه ضرایب نیست.
شرح گام به گام: برای نقاط (x₀,y₀), ..., (xₙ,yₙ):
۱. تفاضلات تقسیم شده درجه صفر: f[xᵢ] = yᵢ
۲. تفاضلات درجه اول: f[xᵢ, xᵢ₊₁] = (f[xᵢ₊₁] - f[xᵢ])/(xᵢ₊₁ - xᵢ)
۳. تفاضلات درجه دوم: f[xᵢ, xᵢ₊₁, xᵢ₊₂] = (f[xᵢ₊₁, xᵢ₊₂] - f[xᵢ, xᵢ₊₁])/(xᵢ₊₂ - xᵢ)
۴. و به همین ترتیب تا درجه n.
۵. چندجمله ای نیوتن:
\[ P(x) = f[x_0] + f[x_0,x_1](x-x_0) + f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1) + \dots \]۶. برای ارزیابی P(x)، از روش هورنر (محاسبه nested) استفاده می شود.
مثال عددی: نقاط (۱,۲), (۳,۴), (۴,۵) را در نظر بگیرید. x₀=۱, y₀=۲; x₁=۳, y₁=۴; x₂=۴, y₂=۵. تفاضلات درجه ۰: f[1]=2, f[3]=4, f[4]=5. درجه ۱: f[1,3] = (4-2)/(3-1) = 2/2 = 1 f[3,4] = (5-4)/(4-3) = 1/1 = 1 درجه ۲: f[1,3,4] = (f[3,4] - f[1,3])/(4-1) = (1-1)/3 = 0/3 = 0 پس P(x) = 2 + 1*(x-1) + 0*(x-1)(x-3) = 2 + (x-1) = x+1 بررسی: در x=3، P=4 درست است. در x=4، P=5 درست است. در x=1، P=2 درست است. بنابراین نقاط روی خط x+1 قرار دارند.
مزایا: با اضافه شدن نقاط جدید، فقط یک تفاضل جدید محاسبه می شود. ارزیابی کارآمد با روش هورنر. درک خوبی از ساختار چندجمله ای می دهد.
معایب: مانند همه روش های درون یابی چندجمله ای، برای تعداد نقاط زیاد دچار نوسان (پدیده رونگه) می شود.
کاربردها: در تحلیل عددی پایه، در طراحی منحنی ها، در مسائل با نقاط داده شده متوالی.
نکته: این روش در بسیاری از کتاب های درسی به عنوان روش اصلی درون یابی معرفی می شود.
