درون یابی لاگرانژ (Lagrange Interpolation)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
درون یابی لاگرانژ (Lagrange Interpolation) :
\[ P(x) = \sum_{i=0}^n y_i L_i(x) \]که
\[ L_i(x) = \prod_{j \ne i} \frac{x - x_j}{x_i - x_j} \]توضیح ساده: درون یابی لاگرانژ یک روش مستقیم برای پیدا کردن یک چندجمله ای است که از یک سری نقاط داده شده عبور می کند. ایده این است که برای هر نقطه، یک چندجمله ای پایه L_i(x) می سازیم که در x_i برابر ۱ و در سایر نقاط داده شده برابر ۰ باشد. سپس چندجمله ای نهایی ترکیب وزنی این چندجمله ای های پایه با وزن های y_i است. این روش ساده و مستقیم است، اما برای تعداد نقاط زیاد کارآمد نیست.
شرح گام به گام: فرض کنید n+1 نقطه (x₀,y₀), (x₁,y₁), ..., (xₙ,yₙ) داریم. می خواهیم چندجمله ای P(x) با درجه حداکثر n پیدا کنیم که از این نقاط عبور کند.
۱. برای هر i از ۰ تا n، چندجمله ای پایه لاگرانژ L_i(x) را تعریف می کنیم:
\[ L_i(x) = \prod_{j=0, j\ne i}^n \frac{x - x_j}{x_i - x_j} \]۲. چندجمله ای درون یاب به صورت زیر است:
\[ P(x) = \sum_{i=0}^n y_i L_i(x) \]۳. برای ارزیابی P در یک نقطه x، مجموع وزنی مقادیر L_i(x) محاسبه می شود.
مثال عددی: نقاط (۱,۲) و (۳,۴) و (۴,۵) را در نظر بگیرید. می خواهیم چندجمله ای درجه ۲ که از این نقاط عبور کند را بیابیم. L₀(x) = (x-۳)(x-۴)/((۱-۳)(۱-۴)) = (x-۳)(x-۴)/((-۲)(-۳)) = (x-۳)(x-۴)/۶ L₁(x) = (x-۱)(x-۴)/((۳-۱)(۳-۴)) = (x-۱)(x-۴)/((۲)(-۱)) = -(x-۱)(x-۴)/۲ L₂(x) = (x-۱)(x-۳)/((۴-۱)(۴-۳)) = (x-۱)(x-۳)/(۳*۱) = (x-۱)(x-۳)/۳ P(x) = ۲ L₀(x) + ۴ L₁(x) + ۵ L₂(x) برای x=۲: P(۲) = ۲*((۲-۳)(۲-۴)/۶) + ۴*(-(۲-۱)(۲-۴)/۲) + ۵*((۲-۱)(۲-۳)/۳) = ۲*((-۱)*(-۲)/۶) + ۴*(-(۱)*(-۲)/۲) + ۵*((۱)*(-۱)/۳) = ۲*(۲/۶) + ۴*(-(-۲)/۲)؟؟ محاسبه دقیق: قسمت دوم: -(۱)*(-۲)=۲، پس ۴*(۲/۲)=۴*۱=۴. قسمت سوم: (۱)*(-۱)= -۱، ۵*(-۱/۳) = -۵/۳. قسمت اول: ۲*(۲/۶)=۴/۶=۲/۳. مجموع: ۲/۳ + ۴ - ۵/۳ = ۴ - ۱ = ۳. در حالی که مقدار واقعی؟ در x=۲ داده ای نداریم، این مقدار پیش بینی شده است.
مزایا: فرمول صریح و ساده، برای درک مفهوم درون یابی عالی است.
معایب: اگر نقطه جدیدی اضافه شود، همه محاسبات باید از نو انجام شوند. برای تعداد نقاط زیاد، ناپایدار و پرهزینه است. پدیده رونگه (Runge phenomenon) برای نقاط با فاصله مساوی ممکن است رخ دهد.
کاربردها: در مبانی عددی، در برخی مسائل خاص با تعداد نقاط کم، در پیاده سازی های آموزشی.
نکته: هر چند روش لاگرانژ از نظر تئوری زیباست، اما در عمل روش های دیگر مانند نیوتن ترجیح داده می شوند.
