آموزش ریاضیات (Mathematics)
۲۱۷۵ آموزش
نمایش دسته بندی ها (۲۱۷۵ آموزش)

تجزیه مقدار منفرد (Singular Value Decomposition - SVD)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :

تجزیه مقدار منفرد (Singular Value Decomposition - SVD) :

\[ A = U \Sigma V^T \]

توضیح ساده: تجزیه مقدار منفرد (SVD) یکی از مهم ترین و پرکاربردترین ابزارهای جبر خطی عددی است. این تجزیه بیان می کند که هر ماتریس (حتی غیرمربع) را می توان به حاصل ضرب سه ماتریس تجزیه کرد: U و V ماتریس های متعامد (یا یکانی) هستند و Σ یک ماتریس قطری (هم ابعاد با A) است که مقادیر منفرد (Singular Values) روی قطر آن قرار دارند. مقادیر منفرد اعداد نامنفی هستند و اطلاعات مهمی درباره ساختار ماتریس می دهند. SVD پایه و اساس بسیاری از روش ها در علم داده، پردازش سیگنال، آمار و مهندسی است.

شرح گام به گام: برای یک ماتریس A با ابعاد m×n، SVD به صورت A = U Σ Vᵀ است که:

U یک ماتریس متعامد m×m (بردارهای منفرد چپ - left singular vectors)

Σ یک ماتریس m×n با مقادیر منفرد σ₁ ≥ σ₂ ≥ ... ≥ σ_r > ۰ روی قطر (r = رتبه A)

V یک ماتریس متعامد n×n (بردارهای منفرد راست - right singular vectors)

روش های محاسبه SVD:

۱. روش کلاسیک: محاسبه مقادیر ویژه AᵀA (یا AAᵀ) و سپس بردارهای ویژه. این روش ناپایدار است.

۲. روش های عددی پایدار: استفاده از الگوریتم های QR، روش های دوشاخه ای (Divide-and-Conquer)، یا روش های تکراری برای ماتریس های بزرگ.

۳. برای ماتریس های بزرگ، از روش های تکراری مانند لانچوس برای SVD استفاده می شود.

مثال عددی: ماتریس

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \]

رتبه ۱ دارد. SVD آن: U = 1/√2 [[1,1],[1,-1]]، Σ = [[2,0],[0,0]]، V = 1/√2 [[1,1],[1,-1]]. مقدار منفرد σ₁ = ۲، σ₂ = ۰. این تجزیه نشان می دهد که A فقط یک بعد غیرصفر دارد.

مزایا: بسیار پایدار از نظر عددی، اطلاعات کامل درباره ساختار ماتریس، کاربردهای بی شمار.

معایب: محاسبه SVD برای ماتریس های بسیار بزرگ پرهزینه است (O(mn min(m,n))).

کاربردها: کاهش ابعاد (PCA)، فشرده سازی تصویر، بازیابی اطلاعات، حل دستگاه های کمترین مربعات، محاسبه رتبه ماتریس، شبه معکوس، و صدها کاربرد دیگر.

نکته: SVD آنقدر مهم است که برخی آن را "قضیه اساسی جبر خطی عددی" می نامند.

نویسنده علیرضا گلمکانی
شماره کلید 8577
گزینه ها
به اشتراک گذاری (Share) در شبکه های اجتماعی
نظرات 0 0 0

ارسال نظر جدید (بدون نیاز به عضو بودن در وب سایت)