تجزیه مقدار منفرد (Singular Value Decomposition - SVD)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
تجزیه مقدار منفرد (Singular Value Decomposition - SVD) :
\[ A = U \Sigma V^T \]توضیح ساده: تجزیه مقدار منفرد (SVD) یکی از مهم ترین و پرکاربردترین ابزارهای جبر خطی عددی است. این تجزیه بیان می کند که هر ماتریس (حتی غیرمربع) را می توان به حاصل ضرب سه ماتریس تجزیه کرد: U و V ماتریس های متعامد (یا یکانی) هستند و Σ یک ماتریس قطری (هم ابعاد با A) است که مقادیر منفرد (Singular Values) روی قطر آن قرار دارند. مقادیر منفرد اعداد نامنفی هستند و اطلاعات مهمی درباره ساختار ماتریس می دهند. SVD پایه و اساس بسیاری از روش ها در علم داده، پردازش سیگنال، آمار و مهندسی است.
شرح گام به گام: برای یک ماتریس A با ابعاد m×n، SVD به صورت A = U Σ Vᵀ است که:
U یک ماتریس متعامد m×m (بردارهای منفرد چپ - left singular vectors)
Σ یک ماتریس m×n با مقادیر منفرد σ₁ ≥ σ₂ ≥ ... ≥ σ_r > ۰ روی قطر (r = رتبه A)
V یک ماتریس متعامد n×n (بردارهای منفرد راست - right singular vectors)
روش های محاسبه SVD:
۱. روش کلاسیک: محاسبه مقادیر ویژه AᵀA (یا AAᵀ) و سپس بردارهای ویژه. این روش ناپایدار است.
۲. روش های عددی پایدار: استفاده از الگوریتم های QR، روش های دوشاخه ای (Divide-and-Conquer)، یا روش های تکراری برای ماتریس های بزرگ.
۳. برای ماتریس های بزرگ، از روش های تکراری مانند لانچوس برای SVD استفاده می شود.
مثال عددی: ماتریس
\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \]رتبه ۱ دارد. SVD آن: U = 1/√2 [[1,1],[1,-1]]، Σ = [[2,0],[0,0]]، V = 1/√2 [[1,1],[1,-1]]. مقدار منفرد σ₁ = ۲، σ₂ = ۰. این تجزیه نشان می دهد که A فقط یک بعد غیرصفر دارد.
مزایا: بسیار پایدار از نظر عددی، اطلاعات کامل درباره ساختار ماتریس، کاربردهای بی شمار.
معایب: محاسبه SVD برای ماتریس های بسیار بزرگ پرهزینه است (O(mn min(m,n))).
کاربردها: کاهش ابعاد (PCA)، فشرده سازی تصویر، بازیابی اطلاعات، حل دستگاه های کمترین مربعات، محاسبه رتبه ماتریس، شبه معکوس، و صدها کاربرد دیگر.
نکته: SVD آنقدر مهم است که برخی آن را "قضیه اساسی جبر خطی عددی" می نامند.