روش ریلی-ریتز (Rayleigh-Ritz Method)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش ریلی-ریتز (Rayleigh-Ritz Method) :
\[ \lambda = R(x) = \frac{x^T A x}{x^T x} \]توضیح ساده: روش ریلی-ریتز یک تکنیک برای تقریب مقادیر ویژه و بردارهای ویژه با استفاده از یک زیرفضا است. اساس کار بر این اصل استوار است که برای یک بردار دلخواه x، نسبت رایلی (Rayleigh Quotient) R(x) = (xᵀAx)/(xᵀx) بهترین تقریب برای مقدار ویژه متناظر با نزدیک ترین بردار ویژه به x است. این روش در الگوریتم های تکراری مانند لانچوس و آرنولدی برای استخراج تقریب های مقادیر ویژه از زیرفضای کرایلف استفاده می شود.
شرح گام به گام: فرض کنید یک زیرفضای m بعدی V (مثلا با پایه v₁,...,v_m) داریم. می خواهیم بهترین تقریب برای مقادیر ویژه A را در این زیرفضا پیدا کنیم.
۱. ماتریس کاهش یافته (Projected Matrix) را تشکیل دهید: H = Vᵀ A V (که V ماتریس با ستون های پایه است).
۲. همه مقادیر ویژه H را محاسبه کنید (چون m معمولا کوچک است، این کار آسان است). این مقادیر ویژه، "مقادیر ویژه ریتز" (Ritz values) نامیده می شوند و تقریبی از مقادیر ویژه A هستند.
۳. بردارهای ویژه متناظر با این مقادیر ویژه (بردارهای ریتز) به صورت y = V u بدست می آیند که u بردار ویژه H است.
۴. نسبت رایلی برای هر بردار ریتز، همان مقدار ویژه ریتز است.
مثال عددی: ماتریس A = [[2,1,0],[1,2,1],[0,1,2]] را در نظر بگیرید. فرض کنید زیرفضای V توسط دو بردار v₁ = [1,0,0]ᵀ و v₂ = [0,1,0]ᵀ تولید شده است. پس:
\[ V = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \]H = Vᵀ A V = [[2,1],[1,2]] (بخش بالا-چپ ۲×۲ A). مقادیر ویژه H برابر ۳ و ۱ هستند. اینها تقریبی از دو مقدار ویژه بزرگ A (که ۳.۴۱ و ۲ هستند) می باشند. هرچه زیرفضا بزرگ تر و بهتر انتخاب شود، تقریب ها بهتر می شوند.
مزایا: کاهش ابعاد مسئله، مناسب برای روش های تکراری، پایه ای برای بسیاری از الگوریتم های پیشرفته.
معایب: کیفیت تقریب به زیرفضا بستگی دارد. ممکن است برخی مقادیر ویژه را از دست بدهد.
کاربردها: در روش لانچوس و آرنولدی، در تحلیل دینامیکی سازه ها، در شیمی کوانتومی (روش های مبتنی بر پایه).
نکته: این روش ترکیبی از ایده های لرد ریلی (فیزیکدان) و والتر ریتز (ریاضیدان) است.
