روش ژاکوبی تعمیم یافته (Generalized Jacobi Method)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش ژاکوبی تعمیم یافته (Generalized Jacobi Method) :
توضیح ساده: روش ژاکوبی تعمیم یافته یک تعمیم از روش ژاکوبی کلاسیک برای حل مسائل مقدار ویژه تعمیم یافته (Generalized Eigenvalue Problem) به صورت Ax = λBx است. در این مسائل، دو ماتریس A و B داریم و می خواهیم مقادیر ویژه λ و بردارهای ویژه x را پیدا کنیم. روش ژاکوبی تعمیم یافته با اعمال تبدیل های متعامد همزمان روی A و B، هر دو ماتریس را به تدریج به شکل قطری درمی آورد. این روش بسیار دقیق اما برای ماتریس های بزرگ کند است.
شرح گام به گام: فرض کنید A و B متقارن هستند و B مثبت معین است. هدف یافتن مقادیر λ و بردارهای x به طوری که Ax = λBx. روش ژاکوبی تعمیم یافته شبیه روش ژاکوبی معمولی عمل می کند، اما با این تفاوت که به طور همزمان روی هر دو ماتریس اعمال می شود:
۱. یک جفت از سطرها و ستون ها (مثلا p و q) را انتخاب کنید.
۲. یک ماتریس چرخش J (متعامد) پیدا کنید به طوری که عناصر (p,q) و (q,p) در ماتریس های تبدیل یافته A' = Jᵀ A J و B' = Jᵀ B J همزمان صفر شوند.
۳. این کار را برای همه جفت ها تکرار کنید تا A و B به طور همزمان قطری شوند (یعنی A به ماتریس قطری و B به ماتریس همانی تبدیل شوند). در آن صورت، عناصر قطری A همان مقادیر ویژه هستند.
۴. بردارهای ویژه از حاصل ضرب ماتریس های چرخش بدست می آیند.
مثال عددی: مسئله
\[ Ax = \lambda Bx \]با
\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \]هدف یافتن λ و x. با روش ژاکوبی تعمیم یافته، به دنبال چرخشی می گردیم که همزمان عناصر غیرقطبی A و B را صفر کند. پس از چند تکرار، به مقادیر ویژه λ₁ ≈ 1.5 و λ₂ ≈ 1 می رسیم.
مزایا: بسیار دقیق، می تواند برای ماتریس های بدحالت نیز کار کند. بردارهای ویژه متعامد (نسبت به B) تولید می کند.
معایب: بسیار کند برای ماتریس های بزرگ. نیاز به B مثبت معین دارد (اگرچه نسخه هایی برای حالت های کلی تر هم وجود دارد).
کاربردها: در دینامیک سازه ها (تحلیل ارتعاشات با جرم و سختی)، در مکانیک کوانتومی، در تحلیل پایداری.
نکته: روش ژاکوبی تعمیم یافته بیشتر جنبه آموزشی و کاربرد در مسائل کوچک دارد. برای مسائل بزرگ از روش های مبتنی بر کاهش به فرم استاندارد و سپس QR استفاده می شود.
