روش تقسیم و غلبه (Divide-and-Conquer Eigenvalue Algorithm)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش تقسیم و غلبه (Divide-and-Conquer Eigenvalue Algorithm) :
توضیح ساده: روش تقسیم و غلبه یکی از سریع ترین الگوریتم ها برای محاسبه همه مقادیر ویژه ماتریس های سه قطری متقارن است. این روش بر اساس ایده معروف "تقسیم و غلبه" در علوم کامپیوتر کار می کند: ماتریس را به دو بخش کوچک تر تقسیم می کنیم، مقادیر ویژه هر بخش را جداگانه محاسبه می کنیم، و سپس نتایج را با هم ترکیب می کنیم. این روش برای ماتریس های با اندازه متوسط تا بزرگ بسیار کارآمد است و در نرم افزارهای حرفه ای مانند LAPACK استفاده می شود.
شرح گام به گام: فرض کنید T یک ماتریس سه قطری متقارن است. آن را به صورت زیر تقسیم می کنیم:
\[ T = \begin{bmatrix} T_1 & \beta e_k e_1^T \\ \beta e_1 e_k^T & T_2 \end{bmatrix} \]که در آن T₁ و T₂ ماتریس های سه قطری کوچک تر هستند. سپس مقادیر ویژه T₁ و T₂ را (مثلا با روش QR) محاسبه می کنیم. سپس با استفاده از معادله مشخصه و روش های خاص، مقادیر ویژه T را از روی مقادیر ویژه T₁ و T₂ محاسبه می کنیم. این فرآیند به صورت بازگشتی ادامه می یابد تا ماتریس به اندازه های کوچک (مثلا ۱×۱ یا ۲×۲) برسد.
مثال عددی (ایده کلی): برای یک ماتریس سه قطری ۴×۴، می توان آن را به دو ماتریس ۲×۲ تقسیم کرد. مقادیر ویژه هر ماتریس ۲×۲ را به راحتی با فرمول درجه دوم محاسبه می کنیم. سپس با حل یک معادله غیرخطی، مقادیر ویژه ماتریس اصلی را از روی این مقادیر و پارامترهای اتصال (β) بدست می آوریم. این کار به صورت بازگشتی انجام می شود.
مزایا: بسیار سریع (معمولا O(n²) یا O(n³) با ضریب کوچک)، قابل موازی سازی، برای ماتریس های بزرگ کارآمد است.
معایب: پیاده سازی پیچیده، ممکن است برای ماتریس های با مقادیر ویژه تکراری یا نزدیک به هم دچار مشکل شود. نیاز به حافظه اضافی دارد.
کاربردها: در محاسبات علمی پیشرفته، در نرم افزارهای عددی مانند LAPACK، در مسائل فیزیک و مهندسی که نیاز به محاسبه همه مقادیر ویژه دارند.
نکته: این روش توسط Cuppen در ۱۹۸۱ معرفی شد و بعدها بهبود یافت. امروزه الگوریتم پیش فرض برای ماتریس های سه قطری در بسیاری از کتابخانه ها است.
