روش لانچوس (Lanczos Algorithm)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش لانچوس (Lanczos Algorithm) :
نسخه متقارن روش آرنولدی
توضیح ساده: روش لانچوس یک نسخه بهینه شده از روش آرنولدی برای ماتریس های متقارن (یا هرمیتی) است. به دلیل تقارن، محاسبات ساده تر می شود و ماتریس H_m حاصل یک ماتریس سه قطری متقارن خواهد بود. این باعث کاهش چشمگیر حافظه و محاسبات می شود. روش لانچوس یکی از قدرتمندترین ابزارها برای محاسبه مقادیر ویژه ماتریس های بزرگ متقارن است.
شرح گام به گام: برای یک ماتریس متقارن A، با بردار شروع v₁ (با ||v₁||=1) شروع می کنیم. β₀ = ۰، v₀ = ۰. برای j = ۱, ۲, ..., m:
۱. w = A v_j - β_{j-1} v_{j-1}
۲. α_j = v_jᵀ w
۳. w = w - α_j v_j
۴. β_j = ||w||. اگر β_j = ۰، توقف.
۵. v_{j+1} = w / β_j
در پایان، ماتریس سه قطری T_m به صورت زیر است:
\[ T_m = \begin{bmatrix} \alpha_1 & \beta_1 & & \\ \beta_1 & \alpha_2 & \beta_2 & \\ & \beta_2 & \ddots & \ddots \\ & & \ddots & \alpha_m \end{bmatrix} \]مقادیر ویژه T_m تقریبی از مقادیر ویژه A هستند.
مثال عددی: ماتریس A = [[2,1,0],[1,2,1],[0,1,2]] (متقارن). v₁ = [1,0,0]ᵀ. β₀=0. j=1: w = A v₁ - 0 = [2,1,0]ᵀ. α₁ = v₁ᵀ w = 2. w = w - 2v₁ = [0,1,0]ᵀ. β₁ = ||w|| = 1. v₂ = [0,1,0]ᵀ. j=2: w = A v₂ - β₁ v₁ = [1,2,1] - 1*[1,0,0] = [0,2,1]ᵀ. α₂ = v₂ᵀ w = 2. w = w - 2v₂ = [0,0,1]ᵀ. β₂ = ||w|| = 1. v₃ = [0,0,1]ᵀ. j=3: w = A v₃ - β₂ v₂ = [0,1,2] - 1*[0,1,0] = [0,0,2]ᵀ. α₃ = v₃ᵀ w = 2. w = w - 2v₃ = 0. β₃ = 0. توقف. T = [[2,1,0],[1,2,1],[0,1,2]] که همان A است.
مزایا: بسیار کارآمد برای ماتریس های بزرگ متقارن، حافظه کم (فقط سه بردار ذخیره می کند).
معایب: به دلیل از دست دادن متعامد بودن در عمل (به خاطر خطای گرد کردن)، نیاز به متعامدسازی مجدد (Reorthogonalization) دارد. نسخه های پیشرفته ای مثل Lanczos با متعامدسازی مجدد جزئی وجود دارند.
کاربردها: در فیزیک (مسائل کوانتومی)، در یادگیری ماشین (کاهش ابعاد با روش های طیفی)، در تحلیل ارتعاشات سازه ها، در شیمی محاسباتی.
نکته: روش لانچوس پایه و اساس بسیاری از الگوریتم های مدرن برای مقادیر ویژه ماتریس های بزرگ متقارن است.
