روش هوسهولدر (Householder's Method)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش هوسهولدر (Householder's Method) :
\[ P = I - 2\frac{v v^T}{v^T v} \]توضیح ساده: روش هوسهولدر یک روش برای کاهش یک ماتریس به شکل بالاهسنبرگ (Hessenberg) یا سه قطری (Tridiagonal) با استفاده از تبدیل های متعامد است. این تبدیل ها (بازتابنده های هوسهولدر) بسیار پایدار هستند و به عنوان مرحله اولیه در بسیاری از الگوریتم های محاسبه مقادیر ویژه (مثل روش QR) استفاده می شوند. ایده این است که با یک سری بازتاب ها، زیرقطرهای ماتریس را صفر کنیم.
شرح گام به گام: برای یک ماتریس A، می خواهیم آن را به شکل بالاهسنبرگ درآوریم (برای ماتریس های نامتقارن) یا سه قطری (برای ماتریس های متقارن). در مرحله kام، بردار v را طوری می سازیم که بازتاب هوسهولدر P = I - 2vvᵀ/(vᵀv) عناصر زیر قطر در ستون k را صفر کند. سپس A ← P A P را اعمال می کنیم. این کار را برای همه ستون ها تکرار می کنیم تا به شکل مورد نظر برسیم.
مثال عددی: ماتریس
\[ A = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ 2 & 5 & 1 \\ 2 & 1 & 6 \end{bmatrix} \]می خواهیم آن را به شکل سه قطری درآوریم (چون متقارن است). ستون اول: زیرقطر شامل a₂₁=2 و a₃₁=2. هدف صفر کردن این دو عنصر. بردار x = [a₁₁, a₂₁, a₃₁]ᵀ = [4,2,2]ᵀ. نرم α = ||x|| = √(16+4+4)=√24=4.899. بردار e₁ = [1,0,0]ᵀ. بردار u = x - α e₁ = [4-4.899, 2, 2] = [-0.899, 2, 2]ᵀ. v = u/||u|| = [-0.899,2,2]/√(0.808+4+4)=[-0.899,2,2]/√8.808 = [-0.899,2,2]/2.968 = [-0.303, 0.674, 0.674]. سپس P = I - 2vvᵀ محاسبه می شود. A₁ = P A P را محاسبه می کنیم. نتیجه ماتریسی سه قطری خواهد بود.
مزایا: بسیار پایدار از نظر عددی، با متعامد بودن تبدیل ها، خطاها کنترل می شوند. مقدمه ضروری برای روش QR.
معایب: به تنهایی مقادیر ویژه را نمی دهد، فقط یک پیش پردازش است.
کاربردها: در مرحله اول الگوریتم های محاسبه مقادیر ویژه (مثل QR)، در حل کمترین مربعات (تجزیه QR با هوسهولدر).
نکته: بازتابنده های هوسهولدر به افتخار آلستون هوسهولدر، ریاضیدان آمریکایی، نامگذاری شده اند.
