روش ژاکوبی (Jacobi Method for Symmetric Matrices)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش ژاکوبی (Jacobi Method for Symmetric Matrices) :
چرخش های ژاکوبی برای صفر کردن عناصر غیرقطری
توضیح ساده: روش ژاکوبی یک روش تکراری برای محاسبه همه مقادیر ویژه و بردارهای ویژه ماتریس های متقارن است. ایده این است که با یک سری چرخش های متعامد (شبیه دوران در صفحه)، ماتریس را به تدریج به یک ماتریس قطری تبدیل کنیم. هر چرخش یک جفت از عناصر غیرقطری را صفر می کند. با تکرار این فرآیند، ماتریس به یک ماتریس قطری همگرا می شود که عناصر قطری آن همان مقادیر ویژه هستند. این روش بسیار دقیق اما برای ماتریس های بزرگ کند است.
شرح گام به گام: برای یک ماتریس متقارن A، در هر مرحله بزرگ ترین عنصر غیرقطری (از نظر قدر مطلق) مانند a_{pq} را انتخاب می کنیم. سپس یک ماتریس چرخش J (شبیه ماتریس دوران) می سازیم به طوری که a_{pq} و a_{qp} در ماتریس Jᵀ A J صفر شوند. زاویه چرخش θ از رابطه زیر بدست می آید:
\[ \tan 2\theta = \frac{2a_{pq}}{a_{pp} - a_{qq}} \]سپس ماتریس A را با A ← Jᵀ A J به روز می کنیم. این کار را تکرار می کنیم تا همه عناصر غیرقطری به صفر نزدیک شوند. در پایان، ماتریس قطری D حاوی مقادیر ویژه است و حاصل ضرب همه ماتریس های J، ماتریس بردارهای ویژه V را می دهد.
مثال عددی: ماتریس A = [[2,1],[1,2]]. بزرگ ترین عنصر غیرقطری a₁₂=1. tan 2θ = 2*1/(2-2) = 2/0 = ∞ ⇒ 2θ = 90° ⇒ θ = 45°. ماتریس چرخش J = [[cos45, -sin45], [sin45, cos45]] = [[0.7071, -0.7071], [0.7071, 0.7071]] Jᵀ A J = [[0.7071,0.7071],[-0.7071,0.7071]] * [[2,1],[1,2]] * [[0.7071,-0.7071],[0.7071,0.7071]] ابتدا A J = [[2,1],[1,2]] * J = [[2*0.7071+1*0.7071, 2*(-0.7071)+1*0.7071], [1*0.7071+2*0.7071, 1*(-0.7071)+2*0.7071]] = [[2.1213, -0.7071], [2.1213, 0.7071]] سپس Jᵀ * (A J) = [[0.7071,0.7071],[-0.7071,0.7071]] * [[2.1213, -0.7071], [2.1213, 0.7071]] = [[3,0],[0,1]] ماتریس قطری شد! مقادیر ویژه ۳ و ۱ روی قطر ظاهر شدند.
مزایا: بسیار دقیق، حتی برای ماتریس های بدحالت. بردارهای ویژه متعامد را به طور ضمنی محاسبه می کند.
معایب: برای ماتریس های بزرگ (بیش از حدود ۱۰×۱۰) بسیار کند است، زیرا هر چرخش هزینه O(n) دارد و به تعداد زیادی چرخش نیاز است.
کاربردها: در مسائل کوچک که دقت بالا نیاز است، در آموزش مفاهیم، در برخی مسائل فیزیک.
نکته: روش ژاکوبی قدیمی ترین روش عددی برای محاسبه مقادیر ویژه است و هنوز هم به دلیل دقت بالا در موارد خاص استفاده می شود.
