روش توانی متقارن (Symmetric Power Method)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :

روش توانی متقارن (Symmetric Power Method) :

توضیح ساده: روش توانی متقارن یک نسخه بهینه شده از روش توانی برای ماتریس های متقارن است. در ماتریس های متقارن، بردارهای ویژه متعامد هستند و تقریب رایلی (Rayleigh Quotient) تقریب بسیار خوبی برای مقدار ویژه می دهد. این روش معمولا سریع تر و پایدارتر از روش توانی عمومی است.

شرح گام به گام: مراحل مشابه روش توانی است، با این تفاوت که در هر تکرار، مقدار ویژه را با تقریب رایلی محاسبه می کنیم:

۱. v₀ را انتخاب کنید.

۲. برای k = ۰, ۱, ۲, ...:

   wₖ₊₁ = A vₖ

   λₖ₊₁ = (vₖᵀ wₖ₊₁) / (vₖᵀ vₖ) (تقریب رایلی)

   vₖ₊₁ = wₖ₊₁ / ||wₖ₊₁||

۳. تا همگرایی λₖ و vₖ.

برای ماتریس های متقارن، تقریب رایلی همگرایی درجه دوم به مقدار ویژه دارد (در مقایسه با همگرایی خطی روش توانی معمولی).

مثال عددی: با همان ماتریس متقارن A = [[2,1],[1,2]] و v₀=[1,0]ᵀ: تکرار ۱: w₁ = [2,1]ᵀ، λ₁ = (1*2 + 0*1)/(1) = 2، v₁ = [2,1]/√5 = [0.8944,0.4472] تکرار ۲: w₂ = [2*0.8944+0.4472, 0.8944+2*0.4472] = [2.236,1.7888]، λ₂ = (0.8944*2.236 + 0.4472*1.7888)/(0.8944²+0.4472²) = (2.0 + 0.8)/(0.8+0.2) = 2.8/1 = 2.8، v₂ = [2.236,1.7888]/2.863 = [0.7809,0.6247] تکرار ۳: w₃ = [2.1865,2.0303]، λ₃ = (0.7809*2.1865 + 0.6247*2.0303)/(0.7809²+0.6247²) = (1.708 + 1.268)/(0.61+0.39) = 2.976/1 = 2.976، v₃ = [0.733,0.68] تکرار ۴: w₄ = [2.146,2.093]، λ₄ = (0.733*2.146 + 0.68*2.093)/(0.733²+0.68²) = (1.573 + 1.423)/(0.537+0.462) = 2.996/0.999 = 3.0 می بینیم که مقدار ویژه سریع تر به ۳ نزدیک می شود.

مزایا: همگرایی سریع تر، استفاده از خاصیت متعامد بودن بردارهای ویژه، پایدارتر.

معایب: فقط برای ماتریس های متقارن (یا هرمیتی) کاربرد دارد.

کاربردها: در مسائل فیزیک کوانتومی، در تحلیل ارتعاشات سازه ها، در یادگیری ماشین (برای ماتریس های کوواریانس).

نکته: تقریب رایلی یکی از مفاهیم اساسی در محاسبات مقادیر ویژه است و در بسیاری از روش های پیشرفته استفاده می شود.