آموزش ریاضیات (Mathematics)
۲۱۷۵ آموزش
نمایش دسته بندی ها (۲۱۷۵ آموزش)

روش توانی با حذف (Power Method with Deflation)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :

روش توانی با حذف (Power Method with Deflation) :

توضیح ساده: روش توانی با حذف یک تکنیک برای پیدا کردن چند مقدار ویژه بزرگ (یا کوچک) است. پس از پیدا کردن بزرگ ترین مقدار ویژه و بردار ویژه آن، اثر آن را از ماتریس حذف می کنیم تا بتوانیم مقدار ویژه بعدی را پیدا کنیم. این کار را تکرار می کنیم تا همه مقادیر ویژه مورد نظر را بدست آوریم. مانند این است که پس از شناسایی بزرگ ترین قله، آن را از چشم انداز حذف کنیم تا قله بعدی نمایان شود.

شرح گام به گام: چندین روش حذف وجود دارد. معروف ترین آنها حذف هتلینگ (Hotelling's Deflation) است:

فرض کنید λ₁ و v₁ را با روش توانی پیدا کرده ایم (با ||v₁||=1). ماتریس جدید A₂ را به صورت زیر می سازیم:

\[ A_2 = A_1 - \lambda_1 v_1 v_1^T \]

این ماتریس همان مقادیر ویژه A₁ را دارد، با این تفاوت که مقدار ویژه λ₁ به ۰ تبدیل شده و بقیه مقادیر ویژه تغییری نمی کنند. بردارهای ویژه نیز تغییر می کنند، اما می توان آنها را بازیابی کرد. سپس روش توانی را روی A₂ اعمال می کنیم تا λ₂ و v₂ را پیدا کنیم. و به همین ترتیب ادامه می دهیم.

مثال عددی: همان ماتریس A = [[2,1],[1,2]]. λ₁=3، v₁=[0.7071,0.7071]ᵀ. v₁v₁ᵀ = [[0.5,0.5],[0.5,0.5]] A₂ = A - 3 * [[0.5,0.5],[0.5,0.5]] = [[2,1],[1,2]] - [[1.5,1.5],[1.5,1.5]] = [[0.5,-0.5],[-0.5,0.5]] مقادیر ویژه A₂: 1 و 0 (چون λ₁ حذف شده). روش توانی روی A₂ بزرگ ترین مقدار ویژه را ۱ می دهد با بردار ویژه [1,-1]ᵀ (نرمالایز شده [0.707,-0.707]).

روش های دیگر حذف: حذف ویلندت (Wielandt Deflation) و حذف شور (Schur Deflation) نیز وجود دارند. حذف شور پایدارتر است و از تجزیه شور استفاده می کند.

مزایا: امکان پیدا کردن چندین مقدار ویژه با تکرار روش توانی.

معایب: خطاهای عددی در مراحل اولیه می تواند به مراحل بعدی سرایت کند. ماتریس های بعدی ممکن است پر شوند (حتی اگر A تنک باشد).

کاربردها: در تحلیل مؤلفه های اصلی (PCA) برای استخراج چند مؤلفه اول، در مکانیک کوانتومی، در پردازش سیگنال.

نکته: برای ماتریس های بزرگ، روش های حذف عملی نیستند و بهتر است از روش های پیشرفته تری مثل روش QR یا آرنولدی استفاده شود.

نویسنده علیرضا گلمکانی
شماره کلید 8565
گزینه ها
به اشتراک گذاری (Share) در شبکه های اجتماعی
نظرات 0 0 0

ارسال نظر جدید (بدون نیاز به عضو بودن در وب سایت)