روش توانی معکوس (Inverse Power Method)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش توانی معکوس (Inverse Power Method) :
برای یافتن نزدیک ترین مقدار ویژه به یک عدد.
\[ x_{k+1} = \frac{(A - \mu I)^{-1} x_k}{\|(A - \mu I)^{-1} x_k\|} \]توضیح ساده: روش توانی معکوس یک تعمیم از روش توانی است که به ما امکان می دهد هر مقدار ویژه (نه فقط بزرگ ترین) را پیدا کنیم. ایده این است: اگر μ یک عدد دلخواه باشد، ماتریس (A - μI)⁻¹ دارای مقادیر ویژه ۱/(λᵢ - μ) است. بزرگ ترین مقدار ویژه این ماتریس مربوط به نزدیک ترین λᵢ به μ است. با اعمال روش توانی روی (A - μI)⁻¹، می توانیم آن مقدار ویژه و بردار ویژه متناظر را پیدا کنیم.
شرح گام به گام: با انتخاب یک عدد μ (تغییر مکان) شروع می کنیم. مراحل:
۱. یک بردار اولیه v₀ انتخاب کنید.
۲. برای k = ۰, ۱, ۲, ... تا همگرایی:
دستگاه (A - μI) wₖ₊₁ = vₖ را برای wₖ₊₁ حل کنید. (این معادل ضرب در معکوس است، اما بدون محاسبه صریح معکوس)
vₖ₊₁ = wₖ₊₁ / ||wₖ₊₁||
۳. مقدار ویژه نزدیک به μ برابر است با μ + ۱/θ، که θ مقدار ویژه متناظر با (A - μI)⁻¹ است و از تقریب رایلی بدست می آید.
۴. بردار ویژه vₖ همان بردار ویژه A است.
مثال عددی: همان ماتریس قبل A = [[2,1],[1,2]]. می خواهیم مقدار ویژه نزدیک به μ=0 را پیدا کنیم (که باید λ₂=1 باشد). با v₀=[1,0]ᵀ. A - μI = A. دستگاه A w = v₀ را حل می کنیم: [2,1;1,2] w = [1,0]ᵀ ⇒ از معادله اول: 2w₁+w₂=1، معادله دوم: w₁+2w₂=0 ⇒ w₁ = -2w₂ ⇒ 2(-2w₂)+w₂=1 ⇒ -4w₂+w₂=1 ⇒ -3w₂=1 ⇒ w₂=-1/3، w₁=2/3. پس w₁ = [0.6667, -0.3333]ᵀ. v₁ = w₁/||w₁|| = [0.6667, -0.3333]/√(0.4444+0.1111)= [0.6667, -0.3333]/0.7454 = [0.8944, -0.4472]. تکرار دوم: حل A w₂ = v₁: 2w₁+w₂=0.8944، w₁+2w₂=-0.4472. از معادله دوم: w₁ = -0.4472 - 2w₂. در معادله اول: 2(-0.4472-2w₂)+w₂ = -0.8944 -4w₂ + w₂ = -0.8944 -3w₂ = 0.8944 ⇒ -3w₂ = 1.7888 ⇒ w₂ = -0.5963، w₁ = -0.4472 -2(-0.5963) = -0.4472+1.1926=0.7454. w₂ = [0.7454, -0.5963]ᵀ، v₂ = w₂/||w₂|| = [0.7454, -0.5963]/0.9545 = [0.781, -0.6245]. این بردار به بردار ویژه λ₂ یعنی [1,-1] نرمالایز شده ≈ [0.707, -0.707] نزدیک می شود. برای یافتن مقدار ویژه، θ از تقریب رایلی روی (A-μI)⁻¹: θ ≈ v₂ᵀ (A⁻¹ v₂)؟ یا از نسبت مؤلفه ها. ساده تر: λ ≈ μ + ۱/α که α بزرگ ترین مقدار ویژه ماتریس معکوس است. در اینجا α ≈ (v₂ᵀ v₁)/(v₂ᵀ v₂)؟ در عمل، پس از همگرایی، λ = μ + (vₖᵀ vₖ)/(vₖᵀ wₖ) که wₖ از حل دستگاه بدست آمده. محاسبه می کنیم: v₂ᵀ v₂ = 1، v₂ᵀ w₂ = [0.781, -0.6245]ᵀ [0.7454, -0.5963] = 0.781*0.7454 + (-0.6245)*(-0.5963) = 0.582 + 0.372 = 0.954. پس λ ≈ 0 + 1/0.954 = 1.048 که نزدیک به ۱ است.
مزایا: می تواند هر مقدار ویژه را با انتخاب μ مناسب پیدا کند. برای یافتن بردارهای ویژه پس از حذف بسیار مفید است.
معایب: در هر تکرار باید یک دستگاه خطی حل کنیم (پرهزینه). انتخاب μ مناسب نیاز به دانش قبلی دارد.
کاربردها: در تحلیل مودال سازه ها، در دینامیک سیالات، در شیمی کوانتومی، در هر جا که نیاز به مقادیر ویژه خاص داریم.
نکته: اگر μ خیلی به یک مقدار ویژه نزدیک باشد، ماتریس A-μI نزدیک به تکین می شود و حل دستگاه مشکل می شود، اما همگرایی بسیار سریع خواهد بود.
