روش توانی (Power Method)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش توانی (Power Method) :
برای یافتن بزرگ ترین مقدار ویژه از نظر قدر مطلق.
\[ x_{k+1} = \frac{A x_k}{\|A x_k\|} \]توضیح ساده: روش توانی ساده ترین روش برای پیدا کردن بزرگ ترین مقدار ویژه (از نظر قدر مطلق) و بردار ویژه متناظر با آن است. ایده بسیار ساده است: یک بردار دلخواه را انتخاب می کنیم و مرتبا آن را در ماتریس A ضرب می کنیم. با هر بار ضرب، مؤلفه بردار در جهت بزرگ ترین مقدار ویژه تقویت می شود و سایر مؤلفه ها تضعیف می شوند. پس از چند تکرار، بردار به سمت بردار ویژه متناظر با بزرگ ترین مقدار ویژه میل می کند.
شرح گام به گام: فرض کنید A یک ماتریس n×n با مقادیر ویژه λ₁, λ₂, ..., λₙ باشد که |λ₁| > |λ₂| ≥ ... ≥ |λₙ|. λ₁ بزرگ ترین مقدار ویژه از نظر قدر مطلق است. مراحل:
۱. یک بردار اولیه v₀ (معمولا تصادفی) انتخاب کنید.
۲. برای k = ۰, ۱, ۲, ... تا همگرایی:
wₖ₊₁ = A vₖ
vₖ₊₁ = wₖ₊₁ / ||wₖ₊₁|| (نرمالایز کردن برای جلوگیری از بزرگ شدن بیش از حد)
λ₁ ≈ (vₖ₊₁ᵀ A vₖ₊₁) (تقریب رایلی) یا از نسبت مؤلفه ها.
۳. پس از همگرایی، vₖ تقریب بردار ویژه و λ₁ تقریب مقدار ویژه است.
مثال عددی: ماتریس
\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \]مقادیر ویژه: λ₁ = 3، λ₂ = 1. بردار ویژه متناظر با λ₁ = [1,1]ᵀ. با v₀ = [1,0]ᵀ شروع می کنیم: تکرار ۱: w₁ = A v₀ = [2,1]ᵀ، v₁ = w₁/||w₁|| = [2,1]/√5 ≈ [0.8944, 0.4472] تکرار ۲: w₂ = A v₁ = [2*0.8944+1*0.4472, 1*0.8944+2*0.4472] = [2.236, 1.7888]، v₂ = [2.236,1.7888]/√(2.236²+1.7888²) = [2.236,1.7888]/2.863 ≈ [0.7809, 0.6247] تکرار ۳: w₃ = A v₂ = [2*0.7809+0.6247, 0.7809+2*0.6247] = [2.1865, 2.0303]، v₃ = [2.1865,2.0303]/√(2.1865²+2.0303²) = [2.1865,2.0303]/2.983 ≈ [0.733, 0.680] تکرار ۴: w₄ = A v₃ = [2*0.733+0.68, 0.733+2*0.68] = [2.146, 2.093]، v₄ = [2.146,2.093]/√(2.146²+2.093²) = [2.146,2.093]/2.998 ≈ [0.716, 0.698] می بینیم که بردار به [0.707,0.707] (نسخه نرمالایز شده [1,1]) نزدیک می شود. تقریب λ₁: v₄ᵀ A v₄ = [0.716,0.698] * (A v₄) = [0.716,0.698] * [2.146,2.093] ≈ 0.716*2.146 + 0.698*2.093 ≈ 1.537 + 1.461 = 2.998 ≈ 3.
مزایا: بسیار ساده و کم هزینه، مناسب برای ماتریس های بزرگ و تنک.
معایب: فقط بزرگ ترین مقدار ویژه را می دهد. اگر دو مقدار ویژه بزرگ نزدیک به هم باشند، کند همگرا می شود. اگر بزرگ ترین مقدار ویژه مختلط باشد، مشکل دارد.
کاربردها: در رتبه بندی صفحات وب (الگوریتم پیج رنک)، در تحلیل مؤلفه های اصلی (PCA)، در دینامیک جمعیت.
نکته: نرخ همگرایی به نسبت |λ₂/λ₁| بستگی دارد. هر چه این نسبت کوچک تر باشد، همگرایی سریع تر است.
