روش نیوتن برای دستگاه ها (Newton's Method for Systems)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش نیوتن برای دستگاه ها (Newton's Method for Systems) :
\[ J(x_n)(x_{n+1} - x_n) = -F(x_n) \]توضیح ساده: روش نیوتن برای دستگاه های معادلات غیرخطی، تعمیم روش نیوتن برای یک معادله است. به جای یک معادله، یک دستگاه از n معادله غیرخطی با n مجهول داریم. در اینجا مشتق با ماتریس ژاکوبی (Jacobian Matrix) جایگزین می شود که شامل همه مشتقات جزئی است. در هر تکرار، یک دستگاه خطی را حل می کنیم تا به جواب نزدیک تر شویم. مانند این است که به جای یک خط مماس، از یک صفحه مماس در فضای n بعدی استفاده کنیم.
شرح گام به گام: دستگاه F(x) = 0 را داریم، که F: ℝⁿ → ℝⁿ یک تابع برداری است. با یک حدس اولیه x⁽⁰⁾ شروع می کنیم. در هر تکرار k:
۱. ماتریس ژاکوبی J(x⁽ᵏ⁾) را محاسبه می کنیم، که در آن Jᵢⱼ = ∂Fᵢ/∂xⱼ.
۲. دستگاه خطی J(x⁽ᵏ⁾) Δx = -F(x⁽ᵏ⁾) را برای Δx حل می کنیم.
۳. x⁽ᵏ⁺¹⁾ = x⁽ᵏ⁾ + Δx را به روز می کنیم.
۴. تا همگرایی (مثلا ||Δx|| کوچک شود) تکرار می کنیم.
این روش در نزدیکی جواب، همگرایی درجه دوم دارد، یعنی تعداد ارقام دقیق تقریبا دو برابر می شود.
مثال عددی: دستگاه ۲ معادله ۲ مجهول:
\[ F_1(x,y) = x^2 + y^2 - 4 = 0 \] \[ F_2(x,y) = x^2 - y - 1 = 0 \]جواب دقیق: x ≈ 1.581, y ≈ 1.5. حدس اولیه: x=1, y=1. F = [1+1-4=-2, 1-1-1=-1]ᵀ ماتریس ژاکوبی: J = [[2x, 2y], [2x, -1]] = [[2,2], [2,-1]] در نقطه (1,1). حل دستگاه J Δx = -F:
\[ \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \Delta x \\ \Delta y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} \]از معادله اول: 2Δx+2Δy=2 ⇒ Δx+Δy=1 معادله دوم: 2Δx - Δy =1 ⇒ جمع دو معادله: 3Δx=2 ⇒ Δx=2/3 ≈ 0.6667، Δy=1-0.6667=0.3333 x جدید = 1+0.6667=1.6667، y جدید = 1+0.3333=1.3333 F جدید: [2.7778+1.7778-4=0.5556, 2.7778-1.3333-1=0.4445] تکرار بعد: J در نقطه جدید = [[3.3334, 2.6666], [3.3334, -1]]، حل می کنیم تا به جواب نزدیک شویم.
مزایا: همگرایی بسیار سریع در نزدیکی جواب.
معایب: نیاز به محاسبه ماتریس ژاکوبی در هر تکرار (پرهزینه). ممکن است اگر حدس اولیه دور باشد، واگرا شود. در هر تکرار باید یک دستگاه خطی حل کنیم.
کاربردها: در حل دستگاه های غیرخطی ناشی از گسسته سازی معادلات دیفرانسیل، در شبیه سازی فرآیندهای شیمیایی، در تحلیل مدارهای غیرخطی.
نکته: برای کاهش هزینه، از روش های شبه-نیوتن استفاده می شود که ژاکوبی را تقریب می زنند.
