روش حذفی گاوس با محورگیری مقیاس شده (Gaussian Elimination with Scaled Partial Pivoting)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش حذفی گاوس با محورگیری مقیاس شده (Gaussian Elimination with Scaled Partial Pivoting) :
توضیح ساده: در محورگیری جزئی، ممکن است عنصری که بزرگترین قدر مطلق را دارد، نسبت به اندازه سایر عناصر همان سطر بزرگ نباشد. برای رفع این مشکل، ابتدا هر سطر را با بزرگترین عنصر آن سطر مقیاس می کنیم (یعنی یک ضریب مقیاس برای هر سطر محاسبه می کنیم). سپس در انتخاب محور، نسبت قدر مطلق عنصر به ضریب مقیاس سطر را مقایسه می کنیم. این روش تعادل بهتری بین سطرها برقرار می کند.
شرح گام به گام: قبل از شروع حذف، برای هر سطر i، بزرگترین عنصر در آن سطر (از نظر قدر مطلق) را پیدا کنید: sᵢ = maxⱼ |aᵢⱼ|. در مرحله k ام، به دنبال سطری می گردیم که نسبت |a_{ik}|/sᵢ بیشینه باشد (برای i از k تا n). این سطر را با سطر k جابجا می کنیم. سپس عملیات حذف را انجام می دهیم. این کار تضمین می کند که محور نسبت به مقیاس سطر خود بزرگ است.
مثال عددی: دستگاه:
\[ 2x_1 + 1000x_2 = 1002 \] \[ x_1 + x_2 = 2 \]ضرایب مقیاس: s₁ = max(2,1000)=1000، s₂ = max(1,1)=1. در ستون اول، نسبت ها: برای سطر اول: |2|/1000 = 0.002، برای سطر دوم: |1|/1 = 1. پس سطر دوم به عنوان محور انتخاب می شود، هر چند عنصر ۲ بزرگتر از ۱ است، اما نسبت سطر دوم بیشتر است. پس سطرها جابجا می شوند:
\[ x_1 + x_2 = 2 \] \[ 2x_1 + 1000x_2 = 1002 \]حال محور ۱ است. m = 2/1 = 2. حذف: (1000 - 2*1)x₂ = 1002 - 2*2 ⇒ 998x₂ = 998 ⇒ x₂ = 1، x₁ = 2-1=1. جواب دقیق. بدون مقیاس بندی، محورگیری جزئی سطر اول را انتخاب می کرد و نتیجه هم خوب بود، اما در موارد بحرانی تر این روش مؤثرتر است.
مزایا: پایدارتر از محورگیری جزئی ساده، به ویژه وقتی دامنه ضرایب در سطرها متفاوت است.
معایب: نیاز به محاسبه و ذخیره ضرایب مقیاس دارد، کمی پرهزینه تر.
کاربردها: در مسائل مهندسی که مقیاس متغیرها متفاوت است، در شبیه سازی های فیزیکی با واحدهای مختلف.
نکته: بسیاری از پیاده سازی های حرفه ای از نوعی مقیاس بندی ضمنی یا صریح استفاده می کنند.
