روش حذفی گاوس با محورگیری کامل (Gaussian Elimination with Complete Pivoting)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش حذفی گاوس با محورگیری کامل (Gaussian Elimination with Complete Pivoting) :
توضیح ساده: در محورگیری کامل، نه تنها سطرها، بلکه ستون ها نیز جابجا می شوند. یعنی در هر مرحله، بزرگترین عنصر (از نظر قدر مطلق) را در کل زیرماتریس باقیمانده (از سطر k به بعد و ستون k به بعد) پیدا کرده و آن را به موقعیت (k,k) منتقل می کنیم. این کار مستلزم جابجایی سطرها و ستون ها است. جابجایی ستون ها به معنای تغییر ترتیب مجهولات است که باید در پایان اعمال شود. این روش پایدارترین شکل حذف گاوس است.
شرح گام به گام: برای مرحله k:
۱. در زیرماتریس از سطر k تا n و ستون k تا n، بزرگترین عنصر از نظر قدر مطلق را پیدا کنید. فرض کنید در سطر p و ستون q قرار دارد.
۲. اگر این عنصر بسیار کوچک است، ماتریس نزدیک به تکین است.
۳. سطر k را با سطر p جابجا کنید.
۴. ستون k را با ستون q جابجا کنید. (این جابجایی را باید در یک بردار ثبت کنیم تا در نهایت ترتیب مجهولات اصلاح شود.)
۵. حال با محور جدید، عملیات حذف را انجام دهید.
در پایان، دستگاه مثلثی حل می شود و سپس با توجه به جابجایی های ستونی، ترتیب مجهولات بازگردانده می شود.
مثال عددی: دستگاه:
\[ 0.001x_1 + 1000x_2 = 1000 \] \[ x_1 + x_2 = 2 \]در مرحله اول، بزرگترین عنصر در کل ماتریس 1000 است (در سطر اول، ستون دوم). پس سطرها جابجا نمی شوند (همان سطر اول)، اما ستون ها جابجا می شوند: ستون ۱ و ۲ تعویض می شوند. یعنی مجهولات جابجا می شوند: دستگاه جدید با y₁ = x₂, y₂ = x₁:
\[ 1000y_1 + 0.001y_2 = 1000 \] \[ y_1 + y_2 = 2 \]حال محور 1000 است. m = 1/1000 = 0.001. حذف: (1-0.001*1000)y₁ + (1-0.001*0.001)y₂ = 2-0.001*1000 ⇒ (1-1)y₁ + (1-0.000001)y₂ = 2-1 ⇒ 0.999999y₂ = 1 ⇒ y₂ = 1.000001، y₁ = (1000 - 0.001*1.000001)/1000 = 0.999999. سپس x₁ = y₂ = 1.000001، x₂ = y₁ = 0.999999.
مزایا: بسیار پایدار، حتی برای ماتریس های بسیار بدحالت.
معایب: پرهزینه تر از محورگیری جزئی (زیرا باید در کل زیرماتریس جستجو کند). برای ماتریس های بزرگ کند است.
کاربردها: در مسائل بسیار حساس که دقت بالا نیاز است، در تحلیل ماتریس های نزدیک به تکین.
نکته: در عمل، محورگیری کامل به ندرت استفاده می شود، زیرا محورگیری جزئی برای اکثر مسائل کافی است و بسیار سریع تر است.
