روش حذفی گاوس با محورگیری جزئی (Gaussian Elimination with Partial Pivoting)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش حذفی گاوس با محورگیری جزئی (Gaussian Elimination with Partial Pivoting) :
توضیح ساده: در روش حذفی گاوس ساده، اگر عنصر قطری (محور) صفر یا بسیار کوچک باشد، مشکل ایجاد می شود و خطای عددی زیاد می شود. در محورگیری جزئی، قبل از حذف در هر ستون، بزرگترین عنصر (از نظر قدر مطلق) را در ستون مورد نظر (از سطر جاری به پایین) پیدا کرده و آن سطر را با سطر جاری جابجا می کنیم. این کار پایداری عددی را به شدت افزایش می دهد. مانند این است که در هر مرحله، قوی ترین معادله را به عنوان مبنا انتخاب کنیم.
شرح گام به گام: برای مرحله k (از ۱ تا n-1):
۱. در ستون k، از بین سطرهای k تا n، سطری را پیدا کن که |a_{ik}| بیشینه است. فرض کنید این سطر p باشد.
۲. اگر |a_{pk}| خیلی کوچک است (نزدیک صفر)، ماتریس احتمالا تنها است و فرآیند متوقف می شود.
۳. سطرهای k و p را جابجا کن.
۴. حال با محور جدید (a_{kk})، عملیات حذف را روی سطرهای زیرین انجام بده.
این کار برای همه ستون ها تکرار می شود. محورگیری جزئی تضمین می کند که ضرایب ضرب (مولتیپلایرها) از ۱ بزرگتر نشوند و خطای گرد کردن کنترل شود.
مثال عددی: دستگاه زیر را در نظر بگیرید (با محاسبات با ۳ رقم اعشار):
\[ 0.001x_1 + x_2 = 1 \] \[ x_1 + x_2 = 2 \]در روش معمولی، محور 0.001 بسیار کوچک است. ضریب: m = 1/0.001 = 1000. در مرحله حذف: معادله دوم می شود: (1-1000*0.001)x₁ + (1-1000*1)x₂ = 2-1000*1 ⇒ (1-1)x₁ + (1-1000)x₂ = 2-1000 ⇒ 0x₁ - 999x₂ = -998 ⇒ x₂ ≈ 0.998، سپس x₁ = (1 - 0.998)/0.001 = 2. این جواب تقریبا درسته ولی خطا دارد. با محورگیری جزئی: ابتدا در ستون اول، بزرگترین عنصر در سطر دوم است (1 > 0.001). پس سطرها را جابجا می کنیم:
\[ x_1 + x_2 = 2 \] \[ 0.001x_1 + x_2 = 1 \]حال محور 1 است. m = 0.001/1 = 0.001. معادله دوم: (0.001-0.001)x₁ + (1-0.001*1)x₂ = 1-0.001*2 ⇒ 0x₁ + 0.999x₂ = 0.998 ⇒ x₂ = 0.998، x₁ = 2 - 0.998 = 1.002. جواب دقیق تر است.
مزایا: پایداری عددی بالا، ساده و قابل فهم، استاندارد در اکثر پیاده سازی ها.
معایب: ممکن است برای ماتریس های خاص کافی نباشد (مثلا ماتریس هایی که نیاز به محورگیری کامل دارند).
کاربردها: در تمام نرم افزارهای عددی برای حل دستگاه های خطی، از MATLAB گرفته تا LAPACK، از محورگیری جزئی استفاده می شود.
نکته: محورگیری جزئی باعث می شود روش حذفی گاوس از نظر عددی پایدار باشد و برای اکثر مسائل عملی کافی است.
