روش شبه معکوس (Pseudoinverse Method)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش شبه معکوس (Pseudoinverse Method) :
\[ A^+ = (A^T A)^{-1} A^T \quad \text{(برای ماتریس های ستونی رتبه)} \]یا
\[ A^+ = A^T (A A^T)^{-1} \quad \text{(برای ماتریس های سطری رتبه)} \]توضیح ساده: روش شبه معکوس یک تعمیم از معکوس ماتریس برای ماتریس هایی است که معکوس ندارند (ماتریس های غیرمربع یا مربع اما تنها). شبه معکوس، که با نماد A⁺ نمایش داده می شود، به ما امکان می دهد دستگاه های خطی را حتی زمانی که A مربع نیست یا تنها است حل کنیم. این مفهوم در روش کمترین مربعات نقش اساسی دارد. مانند این است که برای ماتریس هایی که معکوس واقعی ندارند، یک "معکوس تقریبی" تعریف کنیم که بهترین عملکرد را داشته باشد.
شرح گام به گام: مشهورترین نوع شبه معکوس، شبه معکوس مور-پنروز (Moore-Penrose Pseudoinverse) است. برای یک ماتریس m×n، چهار شرط زیر را ارضا می کند:
۱. A A⁺ A = A
۲. A⁺ A A⁺ = A⁺
۳. (A A⁺)ᵀ = A A⁺
۴. (A⁺ A)ᵀ = A⁺ A
روش محاسبه: اگر A ستونی رتبه باشد (ستون ها مستقل خطی)، A⁺ = (AᵀA)⁻¹Aᵀ. اگر A سطری رتبه باشد (سطرها مستقل خطی)، A⁺ = Aᵀ(AAᵀ)⁻¹. در حالت کلی، از تجزیه مقدار منفرد (SVD) استفاده می شود: اگر A = UΣVᵀ، آنگاه A⁺ = VΣ⁺Uᵀ، که Σ⁺ با معکوس کردن مقادیر منفرد غیرصفر بدست می آید.
مثال عددی: ماتریس
\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} \]این ماتریس رتبه ۱ دارد (ستون دوم دو برابر ستون اول است). شبه معکوس آن با SVD: مقادیر منفرد: σ₁ ≈ 7.48، σ₂ = 0. شبه معکوس: A⁺ ≈ (1/7.48²) * [1,2,3]ᵀ * [1,2,3]? در واقع A⁺ = V Σ⁺ Uᵀ. نتیجه: A⁺ ≈ [[0.02, 0.04, 0.06], [0.04, 0.08, 0.12]]. برای b = [1,1,1]ᵀ، جواب کمترین مربعات x = A⁺b ≈ [0.12, 0.24]ᵀ.
مزایا: همیشه وجود دارد و یکتا است. جواب کمترین مربعات با کمترین نرم را می دهد.
معایب: محاسبه آن برای ماتریس های بزرگ پرهزینه است. حساس به خطای عددی برای ماتریس های بدحالت.
کاربردها: در رباتیک (سینماتیک معکوس)، در پردازش سیگنال، در کنترل بهینه، در آمار و رگرسیون، در یادگیری ماشین.
نکته: در عمل، به جای محاسبه صریح شبه معکوس، از روش های عددی پایدارتر مثل تجزیه QR یا SVD برای حل مسائل کمترین مربعات استفاده می شود.
