روش تعمیم یافته حداقل مانده (Generalized Minimal Residual Method - GMRES)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش تعمیم یافته حداقل مانده (Generalized Minimal Residual Method - GMRES) :
توضیح ساده: روش GMRES یکی از محبوب ترین و قوی ترین روش ها برای حل دستگاه های خطی با ماتریس های نامتقارن است. ایده این است که در هر تکرار، یک زیرفضای کرایلف ساخته و جوابی پیدا می کنیم که نرم باقیمانده در آن فضا کمینه شود. یعنی بهترین جواب ممکن را در آن زیرفضا پیدا می کنیم. این روش بسیار پایدار است و برای طیف وسیعی از مسائل کاربرد دارد.
شرح گام به گام: با یک حدس اولیه x₀ شروع می کنیم. r₀ = b - Ax₀. سپس بردار پایه v₁ = r₀/||r₀|| را می سازیم. در مرحله m، یک پایه متعامد برای زیرفضای کرایلف K_m با استفاده از فرآیند آرنولدی (Arnoldi process) می سازیم. این فرآیند یک ماتریس بالاهسنبرگ H_m (از مرتبه (m+1)×m) تولید می کند. سپس جستجوی x_m = x₀ + V_m y_m می کنیم به طوری که ||b - Ax_m|| کمینه شود. این معادل کمینه کردن || ||r₀|| e₁ - H_m y || است. این مسئله کمترین مربعات کوچکی را می توان با روش های ارزان حل کرد.
مثال عددی: برای یک دستگاه ۱۰۰۰×۱۰۰۰ نامتقارن، GMRES ممکن است در ۵۰ تکرار به جواب مناسب برسد. اما مشکل این است که در هر تکرار، حجم کار و حافظه افزایش می یابد، زیرا همه بردارهای پایه V_m را باید ذخیره کنیم. برای رفع این مشکل، از نسخه "راه اندازی مجدد" (Restarted GMRES) استفاده می کنیم که بعد از m تکرار (مثلا m=30)، دوباره با x_m به عنوان حدس جدید شروع می کنیم.
مزایا: بسیار پایدار، کمینه سازی نرم باقیمانده در هر تکرار، مناسب برای ماتریس های نامتقارن.
معایب: نیاز به ذخیره سازی همه بردارهای پایه (مصرف حافظه زیاد برای m بزرگ). برای مسائل بسیار بزرگ، نیاز به راه اندازی مجدد است که ممکن است همگرایی را کند کند.
کاربردها: استانداردترین روش برای حل دستگاه های بزرگ نامتقارن در دینامیک سیالات محاسباتی، انتقال حرارت، الکترومغناطیس، و بسیاری از مسائل مهندسی.
نکته: GMRES به همراه یک پیش شرط کننده مناسب (مثل ILU یا SSOR) می تواند بسیار کارآمد باشد. این روش توسط سعد و شولتز در ۱۹۸۶ معرفی شد.