روش گرادیان مزدوج دوگانه (Biconjugate Gradient Method - BiCG)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :

روش گرادیان مزدوج دوگانه (Biconjugate Gradient Method - BiCG) :

توضیح ساده: روش گرادیان مزدوج دوگانه (BiCG) یک تعمیم از روش گرادیان مزدوج برای ماتریس های نامتقارن است. در این روش، به جای یک زیرفضای کرایلف، دو زیرفضا ساخته می شود: یکی با A و دیگری با Aᵀ. این دو فضا با هم جفت می شوند تا بتوانیم شرایط متعامد بودن را برای ماتریس های نامتقارن نیز برقرار کنیم. مانند این است که دو مسیر موازی را همزمان طی کنیم تا به جواب برسیم.

شرح گام به گام: در BiCG، دو دنباله از بردارهای باقیمانده ساخته می شود: rₖ برای A و \tilde{r}_ₖ برای Aᵀ. این دو دنباله با هم جفت می شوند به طوری که \tilde{r}_iᵀ r_j = 0 برای i≠j. با شروع از x₀، r₀ = b - Ax₀، و \tilde{r}_₀ را انتخاب می کنیم (معمولا برابر r₀). سپس جهت های جستجو و ضرایب به روزرسانی مشابه CG محاسبه می شوند اما با درگیری هر دو دسته بردارها. این روش مستقیما روی A کار می کند و نیازی به تقارن ندارد.

کاربرد: BiCG برای ماتریس های نامتقارن که خیلی بزرگ نیستند مناسب است. اما ممکن است ناپایداری های عددی داشته باشد و گاهی "شکست" بخورد (Breakdown). نسخه های بهبود یافته ای مثل BiCGSTAB برای رفع این مشکل ساخته شده اند.

مزایا: قابل استفاده برای ماتریس های نامتقارن، نسبتا ساده تر از GMRES از نظر حافظه.

معایب: ممکن است ناپایدار باشد، نیاز به ضرب در Aᵀ دارد (که گاهی در دسترس نیست). همگرایی ممکن است نامنظم باشد.

کاربردها: در مسائل انتقال حرارت با جابجایی، در مکانیک سیالات، در الکترومغناطیس، در هر جایی که ماتریس دستگاه نامتقارن است.

نکته: BiCGSTAB (BiCG Stabilized) یک نسخه پایدارتر و محبوب تر از BiCG است که نوسانات را کاهش می دهد.